Jfyhkgu

Модальная логика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы).

Сравнение с формальной логикой |

Формальную логику можно упростить до цепочки истинное знание→процесс→выводы.

Откуда брать истинное знание для формальных логик если только единичные истинные знания универсальны?..

Логика должна отвечать на реальные жизненные ситуации, а универсальных истин немного.

Модальная логика в широком смысле оперирует:

• знаниями


• предположениями (то, что не знаем)


• вопросами (частично в логике знаний)


• задачами (что сделать, чтобы получить знание)^{[уточнить]}
  

То есть является более реальным/практичным расширением логики высказываний и логики первого порядка.

Примеры утверждений |

Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).

Обычно для обозначения модального оператора используется ◻{displaystyle Box } и двойственный к нему ♢{displaystyle diamondsuit }:

♢A=¬◻¬A.{displaystyle diamondsuit A=neg Box neg A.}

Это отражает то, что сказать «Москва когда-то была столицей России» то же самое, что сказать «не верно, что Москва никогда не была столицей России».

Модальности |

Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-нибудь в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.).

• Алетические (от др.-греч. ἀλήθεια — истина) модальные понятия:
  
  
  
  • Логические:
    
    
    
    • L — необходимо,
    
    
    • M — возможно,
    
    
    • С — случайно.
    
    
    
    
  
  
  • Фактические:
    
    
    
    • 
      ◻{displaystyle Box } — необходимо,
    
    
    • 
      ◊{displaystyle Diamond } — возможно,
    
    
    • 
      △{displaystyle triangle } — случайно.
    
    
    
    
  
  
  
  

• Аксиологические (др.-греч. ἀξίᾱ — ценность) модальные понятия:
  
  
  
  • хорошо,
  
  
  • нейтрально,
  
  
  • плохо.
  
  
  
  

Аксиологическую логику разработал философ А. А. Ивин.

• Временные:
  
  
  
  • прошлое,
  
  
  • настоящее,
  
  
  • будущее.
  
  
  
  

• Пространственные:
  
  
  
  • там,
  
  
  • здесь,
  
  
  • нигде.
  
  
  
  

Логика знаний |

Оперирует понятиями «знает» «полагает».

Деонтическая логика |

Оперирует понятиями: обязательство, разрешение, норма.

«Ты обязан это сделать» («Твой долг это сделать») либо «Ты можешь это сделать»

Эти понятия пытались внедрить достаточно давно, но значительный результат был только у Георга фон Вригта в Deontic Logic, Mind, New Series, Vol. 60, No. 237. (Jan., 1951), pp. 1-15.^[1]

Статья 2007 года о реализации деонтической логики. A Formal Language for Electronic Contracts^[2] использующий µ-calculus и реализацию mu-cke от A. Biere^[3]

Семантика |

В математической логике и информатике наиболее распространённой является семантика Крипке, также существуют алгебраическая семантика, топологическая семантика и ряд других.

Синтаксис |

Модальная формула определяется рекурсивно как слово в алфавите состоящем из счетного множества пропозициональных переменных PL{displaystyle PL}, классических связок →,⊥{displaystyle to ,bot }, скобок ({displaystyle (}, ){displaystyle )} и модального оператора ◻{displaystyle Box }. А именно, формулой является

1. 
   p{displaystyle p} для любого p∈PL{displaystyle pin PL}.


2. 
   ⊥{displaystyle bot }.


3. 
   (A→B){displaystyle (Ato B)}, если A{displaystyle A} и B{displaystyle B} — формулы.


4. 
   (◻A){displaystyle (Box A)}, если A{displaystyle A} — формула.

Нормальной модальной логикой называется множество модальных формул, содержащее все классические тавтологии, аксиому нормальности

◻(p→q)→(◻p→◻q){displaystyle Box (pto q)to (Box pto Box q)}

и замкнутое относительно правил Modus ponens A,A→BB{displaystyle {frac {A,Ato B}{B}}}, подстановки A(p)A(B){displaystyle {frac {A(p)}{A(B)}}} и введение модальности A◻A{displaystyle {frac {A}{Box A}}}.

Минимальная нормальная модальная логика обозначается K{displaystyle K}.

Замечания |

• 
  теория двойников обеспечивает перевод языка квантифицированной модальной логики в первопорядковую теорию (но не наоборот) без каких-либо интенсиональных операторов типа «возможно» и «необходимо»^[4]
  

Примечания |

Литература |

• 
  Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic.— Oxford University Press, 1997. (на английском)


• 
  Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic.— CambridgeUniversity Press, 2002.


• Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. — М: Наука, 1976. — 720с.
  


• Фейс Р., Модальная логика.— Главная редакция физ-мат литературы изд-ва «Наука», М. 1974.


• Шкатов Д. П., Модальная логика и модальные фрагменты классической логики.— Институт философии РАН, 2008. ISBN 978-5-9540-0128-0 (см. описание книги: в Озоне)

См. также |

• Логика знаний

Ссылки |

• http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/


• 
  https://cgi.csc.liv.ac.uk/~frank/MLHandbook Handbook of Modal Logic за авторством Patrick Blackburn, Johan van Benthem, Frank Wolter
  

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.