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En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Definición.

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpo

• Si L es una extensión de K, entonces L es un espacio vectorial sobre K.

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, (L,+){displaystyle (L,+)} es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares ⋅:K×L⟶L{displaystyle cdot :Ktimes Llongrightarrow L} como una restricción a K×L{displaystyle Ktimes L} del producto en ⋅:L×L⟶L{displaystyle cdot :Ltimes Llongrightarrow L}. De esta forma es inmediato que se cumple que:

• 
  a⋅(α+β)=(a⋅α)+(a⋅β){displaystyle acdot (alpha +beta )=(acdot alpha )+(acdot beta )},

• 
  (a+b)⋅α=(a⋅α)+(b⋅α){displaystyle (a+b)cdot alpha =(acdot alpha )+(bcdot alpha )},

• 
  (a⋅(b⋅α))=(a⋅b)⋅α{displaystyle (acdot (bcdot alpha ))=(acdot b)cdot alpha },

• 
  1⋅α=α{displaystyle 1cdot alpha =alpha },

cualesquiera que sean a,b∈K{displaystyle a,bin K} y α,β∈L{displaystyle alpha ,beta in L}. Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en L{displaystyle L} y a que K⊂L{displaystyle Ksubset L}, la tercera se debe a que el producto es asociativo en L{displaystyle L}, y la cuarta se debe a que K{displaystyle K} es subcuerpo de L{displaystyle L}, por lo que el elemento unidad de L{displaystyle L} es el elemento unidad de K{displaystyle K}.

Extensión simple

El conjunto K(α):={f(α)g(α):f,g∈K[x],g(α)≠0}{displaystyle K(alpha ):=left{{frac {f(alpha )}{g(alpha )}}:f,gin K[x],g(alpha )neq 0right}}. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de K{displaystyle K}, es subcuerpo de L{displaystyle L}, y de hecho es la menor extensión de K{displaystyle K} que contiene a α{displaystyle alpha }. Se le denomina extensión generada por α sobre K{displaystyle K}.

Extensiones algebraicas y trascendentes

Teorema de Kronecker.

Sea K{displaystyle K} un cuerpo y p∈K[x]{displaystyle pin K[x]} un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión L:K{displaystyle L:K} de manera que p{displaystyle p} tiene alguna raíz en L{displaystyle L}.

Homomorfismo evaluación

La función β:K[x]⟶K(α){displaystyle beta :K[x]longrightarrow K(alpha )} que a cada polinomio p(x)∈K[x]{displaystyle p(x)in K[x]} le hace corresponder su evaluación en α{displaystyle alpha }, i.e., β(p)=p(α){displaystyle beta (p)=p(alpha )}. Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraica

Una extensión L:K{displaystyle L:K} se dice que es algebraica si todo elemento α∈L{displaystyle alpha in L} es algebraico sobre K{displaystyle K}.

Elementos algebraicos

Supongamos que existe algún polinomio p∈K[x]{displaystyle pin K[x]} que tiene a α{displaystyle alpha } por raíz.

En esta situación (ker⁡(β)≠{0}{displaystyle ker(beta )neq {0}}, o equivalentemente, existe algún p∈K[x]{displaystyle pin K[x]} irreducible con K[x](p)≅K(α){displaystyle {frac {K[x]}{(p)}}cong K(alpha )}) se dice que α{displaystyle alpha } es algebraico sobre K{displaystyle K}.

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducible

Si α{displaystyle alpha } es un elemento algebraico sobre el cuerpo K{displaystyle K} de manera que α∉K{displaystyle alpha notin K}, el polinomio p{displaystyle p} que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., ker⁡β=(p){displaystyle ker beta =(p)}) es irreducible. Dividiendo p{displaystyle p} por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable x{displaystyle x}) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por mαK{displaystyle m_{alpha }^{K}} y se denomina polinomio mónico irreducible de α{displaystyle alpha } respecto de K{displaystyle K}.

Claramente, K(α)≅K[x](mαK){displaystyle K(alpha )cong {frac {K[x]}{(m_{alpha }^{K})}}}.

Extensión trascendente

Una extensión L:K{displaystyle L:K} se dice que es trascendente si existe algún elemento α∈L{displaystyle alpha in L} que sea trascendente sobre K{displaystyle K}.

Elementos trascendentes

Si el ker(β)={0}{displaystyle (beta )={0}}, será β{displaystyle beta } un monomorfismo. En ese caso, K(x){displaystyle K(x)} es isomorfo a K(α){displaystyle K(alpha )}.

Se dirá que el elemento α{displaystyle alpha } es trascendente sobre K{displaystyle K} y que K(α){displaystyle K(alpha )} es una extensión trascendente sobre K{displaystyle K}. Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en K{displaystyle K} que tenga por raíz a α{displaystyle alpha } (es decir, si p∈K[x]{displaystyle pin K[x]}, entonces p(α)≠0{displaystyle p(alpha )neq 0}).

Grado de una extensión

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de L{displaystyle L} como espacio vectorial sobre K{displaystyle K}, denotado por dimK⁡(L){displaystyle operatorname {dim} _{K}(L)}. Se denomina grado de la extensión L:K{displaystyle L:K} a la dimensión de L{displaystyle L} como K{displaystyle K}-espacio vectorial: [L:K]=dimK⁡(L){displaystyle [L:K]=operatorname {dim} _{K}(L)}.

Tomemos varios ejemplos:

K = Q{displaystyle mathbb {Q} } el cuerpo de los racionales y L = R{displaystyle mathbb {R} } el cuerpo de los reales; R{displaystyle mathbb {R} } visto como espacio vectorial sobre Q{displaystyle mathbb {Q} }, es de dimensión infinita, es decir, [R:Q]=∞{displaystyle [mathbb {R} :mathbb {Q} ]=infty }.

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de R{displaystyle mathbb {R} } sobre Q{displaystyle mathbb {Q} } fuese finita, R{displaystyle mathbb {R} } sería isomorfo a Qn,n∈N{displaystyle mathbb {Q} ^{n},nin mathbb {N} }, lo que no es posible porque |Qn|=|Q|=|N|<|R|{displaystyle |mathbb {Q} ^{n}|=|mathbb {Q} |=|mathbb {N} |<|mathbb {R} |}.

Si K = Q{displaystyle mathbb {Q} }, el cuerpo de los racionales y L = Q(2){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})}, el menor cuerpo que contiene a la vez Q{displaystyle mathbb {Q} } y √2, claramente Q(2){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})} es una extensión algebraica de Q{displaystyle mathbb {Q} }, ya que 2{displaystyle {sqrt {2}}} es raíz del polinomio x2−2{displaystyle x^{2}-2}.

Al mismo tiempo:

Q(2)≅Q[x]/(x2−2){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})cong mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)}

ya que el ideal (x2−2){displaystyle (x^{2}-2)} es el núcleo del morfismo β:Q[x]⟶Q(2){displaystyle beta :mathbb {Q} [x]longrightarrow mathbb {Q} ({sqrt {2}})}, claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además [Q(2):Q]=2{displaystyle [mathbb {Q} ({sqrt {2}}):mathbb {Q} ]=2}, es decir, la dimensión de Q(2){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})} como espacio vectorial sobre Q{displaystyle mathbb {Q} } es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz: x2−2{displaystyle x^{2}-2}.

En general:

[K(α):K]=n{displaystyle [mathbb {K} (alpha ):mathbb {K} ]=n} si n{displaystyle n} es el grado del polinomio mónico e irreducible en K[x]{displaystyle mathbb {K} [x]} que tiene a α{displaystyle alpha } como raíz, donde K{displaystyle mathbb {K} } es un cuerpo y K[x]{displaystyle mathbb {K} [x]} son los polinomios con coeficientes en K{displaystyle mathbb {K} }.

Véase también

• Teoría de cuerpos

Enlaces externos

• 
  Weisstein, Eric W. «Extension Field». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.