Jfyhkgu

Questa voce sull'argomento fisica è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

Le equazioni di Friedmann, sviluppate nel 1922,^[1] sono le equazioni di campo di Einstein applicate al sistema-universo una volta che si sia ipotizzato il principio cosmologico. L'ipotesi del principio cosmologico porta direttamente all'elemento di linea FLRW:

ds2=dt2−a(t)dl2 {displaystyle ds^{2}=dt^{2}-a(t)dl^{2} }

dove dl2{displaystyle dl^{2}} è l'elemento di linea di una varietà tridimensionale di tipo spazio.

Il fattore di scala a(t){displaystyle a(t)} è l'unico grado di libertà che rimane a seguito della (forte) richiesta del principio cosmologico e contiene informazioni sulla dinamica dell'universo su larga scala.
L'espressione delle equazioni di Friedmann è:

3a˙2+ka2=8πGε,{displaystyle 3{frac {{dot {a}}^{2}+k}{a^{2}}}=8pi Gvarepsilon ,}

2aa¨+a˙2+ka2=−8πGp,{displaystyle {frac {2a{ddot {a}}+{dot {a}}^{2}+k}{a^{2}}}=-8pi Gp,}

dove:

• 
  k{displaystyle k} è il parametro di curvatura: k=−1{displaystyle k=-1} universo aperto (geometria iperbolica), k=0{displaystyle k=0} universo piatto (geometria euclidea), k=+1{displaystyle k=+1} universo chiuso (geometria ipersferica),


• 
  ε{displaystyle varepsilon } è la densità di energia,


• 
  p{displaystyle p} è la pressione,


• G è la costante di gravitazione universale di Newton
  

e dove si è sottinteso che si sta lavorando in unità della velocità della luce (cioè c=1{displaystyle c=1}).
Pressione e densità di energia si riferiscono al gas cosmico: tutti i modelli cosmologici correnti si fondano su una descrizione di tipo fluido, in cui l'Universo viene considerato come un fluido le cui molecole sono rappresentate dalle galassie che lo popolano.

Il rapporto a˙a{displaystyle {frac {dot {a}}{a}}} è la velocità di espansione dell'universo pari alla costante di Hubble H0{displaystyle H_{0}}.

Molto spesso invece della seconda equazione si preferisce utilizzare la conservazione dell'energia che per l'universo (essendo evidentemente un sistema isolato) risulta

dε=−(ε+p)dVV,{displaystyle dvarepsilon =-(varepsilon +p){frac {dV}{V}},}

dove va ricordato che ε=E/V{displaystyle varepsilon =E/V}.
Risulta opportuno procedere ulteriormente notando che V{displaystyle V} è proporzionale a a3{displaystyle a^{3}}
per cui la conservazione dell'energia diventa

ε˙=−3a˙a(ε+p){displaystyle {dot {varepsilon }}=-3{frac {dot {a}}{a}}(varepsilon +p)}

Le due equazioni indipendenti

3a˙2+ka2=8πGε,{displaystyle 3{frac {{dot {a}}^{2}+k}{a^{2}}}=8pi Gvarepsilon ,}

ε˙=−3a˙a(ε+p),{displaystyle {dot {varepsilon }}=-3{frac {dot {a}}{a}}(varepsilon +p),}

permettono di ricavare l'andamento dell'universo (cioè a(t){displaystyle a(t)}) una volta ipotizzata una certa equazione di stato p=p(ε){displaystyle p=p(varepsilon )} per il fluido cosmico.

I calcoli fatti dallo stesso Friedmann partivano dall'ipotesi p=0{displaystyle p=0}, valida con ottima approssimazione per le galassie ossia per tutta la materia barionica (escludendo cioè la materia oscura e l'energia oscura).

I modelli di universo a cui giunse Friedmann, noti appunto come modelli di Friedmann, sono tre, uno per ogni valore di k{displaystyle k}: quelli per k=0,−1{displaystyle k=0,-1} corrispondono ad un universo che nasce in a=0{displaystyle a=0} (è il Big Bang) e va verso un'espansione indefinita rallentando sempre di più ma senza mai fermarsi ad una velocità a¨2−>|k|{displaystyle {ddot {a}}^{2}->|k|} (partendo dall'ipotesi di una densità di energia non positiva e non nulla; nel caso di densità di energia negativa un universo aperto non può avere un'espansione senza fine); il modello con k=+1{displaystyle k=+1} invece - pur nascendo sempre in a=0{displaystyle a=0} - dopo un fase iniziale di espansione, inizierebbe a contrarsi fino a morire in maniera simile a come era nato, cioè per a=0{displaystyle a=0} (è il Big Crunch).

Se a¨=0{displaystyle {ddot {a}}=0}, a(t){displaystyle a(t)}è una linea retta e l'età dell'universo è pari a 1H0{displaystyle {frac {1}{H_{0}}}}: finché a¨<0{displaystyle {ddot {a}}<0}, l'universo avrà un'età minore di 1H0{displaystyle {frac {1}{H_{0}}}}.

I teoremi della singolarità predicono che qualsiasi universo avente densità ρ>0{displaystyle rho >0} e pressione p≥0{displaystyle pgeq 0}, deve avere avuto origine da una singolarità. Perciò, nel caso del Big Bang (singolarità ad a=0{displaystyle a=0}), non è la perfetta simmetria dell'universo di Friedman-Robert-Walker ad essere responsabile di questa singolarità.

Mentre a→0{displaystyle ato 0}, la densità di energia diventa arbitrariamente grande, e la relatività generale non può essere una descrizione accurata dei fenomeni a questi regimi, cosa che potrebbe in futuro fare una teoria della gravità quantistica.

Note |

Bibliografia |

• L. Landau, E. Lifšits "Teoria dei Campi", Fisica Teorica:volume 2, Editori Riuniti (III edizione 2004),


• (EN) C. Misner, K. Thorne, J.A. Wheeler "Gravitation", Freeman And Company (1970)

Voci correlate |

• Cosmologia (astronomia)


• Metrica di Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker


• Modello di Friedmann


• Relatività generale