Equazione di campo di Einstein
L'equazione di campo di Einstein è l'equazione fondamentale della teoria della relatività generale.
Essa descrive la curvatura dello spaziotempo in funzione della densità di materia, dell'energia e della pressione, rappresentate tramite il tensore stress-energia.[1]
L'equazione di campo è stata al centro di una polemica di priorità tra Einstein e il matematico David Hilbert, risolta dopo parecchio tempo a favore di Einstein.[2]
Indice
1 Equazione
2 Altre equazioni di campo
3 Contrazione o espansione dell'universo
4 Soluzioni delle equazioni di campo
5 Note
6 Voci correlate
7 Collegamenti esterni
Equazione |
L'equazione di campo originale è
- Rμν−12gμνR=8πGc4Tμν{displaystyle R_{mu nu }-{1 over 2}g_{mu nu }R={frac {8pi G}{c^{4}}}T_{mu nu }}
Ma successivamente Einstein la modificò aggiungendo la costante cosmologica in modo da ottenere un modello di universo statico.
Nella forma con la costante cosmologica, l'equazione di campo è
- Rμν−12gμνR+Λgμν=8πGc4Tμν{displaystyle R_{mu nu }-{1 over 2}g_{mu nu }R+Lambda g_{mu nu }={frac {8pi G}{c^{4}}}T_{mu nu }}
dove:
Rμν{displaystyle R_{mu nu }}è il tensore di curvatura di Ricci;
R{displaystyle R}la curvatura scalare, ossia la traccia di Rμν{displaystyle R_{mu nu }}
gμν{displaystyle g_{mu nu }}il tensore metrico;
Λ{displaystyle Lambda }la costante cosmologica;
Tμν{displaystyle T_{mu nu }}il tensore stress-energia;
c{displaystyle c}la velocità della luce nel vuoto;
G{displaystyle G}la costante di gravitazione universale.
Il tensore gμν{displaystyle g_{mu nu }}
Gμν=Rμν−12gμνR{displaystyle {mathcal {G}}_{mu nu }=R_{mu nu }-{1 over 2}g_{mu nu }R}
possiamo riscrivere l'equazione di campo come
Gμν+Λgμν=8πGc4Tμν{displaystyle {mathcal {G}}_{mu nu }+Lambda g_{mu nu }={frac {8pi G}{c^{4}}}T_{mu nu }}
Altre equazioni di campo |
L'equazione di campo indicata da Einstein non è l'unica possibile, ma si distingue per la semplicità dell'accoppiamento tra materia/energia e curvatura.
I modelli di universo in cui è presente una costante cosmologica sono generalizzazioni del modello precedente, la cui metrica è detta di Friedmann - Lemaître - Robertson - Walker, o FLRW. L'assunto che l'universo sia isotropo ed omogeneo a grande scala è noto come principio cosmologico.
Contrazione o espansione dell'universo |
Trascurando temporaneamente la costante cosmologica Λ{displaystyle Lambda }
- (R˙R)2+kR2=8πG3ρ{displaystyle left({frac {dot {R}}{R}}right)^{2}+{frac {k}{R^{2}}}={frac {8pi G}{3}}rho }
dove R{displaystyle R}
- ρc=3H28πG{displaystyle rho _{c}={frac {3H^{2}}{8pi G}}}
dove si è fatto utilizzo della relazione R˙R=H{displaystyle {frac {dot {R}}{R}}=H}
Naturalmente la debolezza di questa formula è che le condizioni non autorizzano a considerare k=0{displaystyle k=0}
- (R˙R)2=8πG3ρ{displaystyle left({frac {dot {R}}{R}}right)^{2}={frac {8pi G}{3}}rho }
può essere risolta ponendo ρ=MR3{displaystyle rho ={dfrac {M}{R^{3}}}}
- R(t)=Ct2/3{displaystyle R(t)=Ct^{2/3}}
dove C{displaystyle C}
Reintroducendo la costante cosmologica, essa si comporta a tutti gli effetti come una densità di energia negativa che permea tutto lo spazio, di conseguenza è possibile riconsiderare la densità critica come somma di due quantità: l'una rappresentata dalla materia, osservabile ed oscura; l'altra da una forma di energia "non visibile", identificabile con la costante cosmologica. Infatti in tal caso l'equazione diventa
- (R˙R)2+kR2=8πG3(ρ+ρΛ){displaystyle left({frac {dot {R}}{R}}right)^{2}+{frac {k}{R^{2}}}={frac {8pi G}{3}}left(rho +rho _{Lambda }right)}
Dove ρ{displaystyle rho }
Il termine Λ{displaystyle Lambda }
Dal momento che le più recenti osservazioni[6] indicano che la densità dell'universo è molto vicina alla densità critica e che la densità di energia della materia globalmente intesa è stimata essere soltanto il 30% circa di tale valore, la costante cosmologica, qualora dimostrata e quantificata, permetterà di prevedere il destino ultimo dell'universo. Trovare pertanto conferme della sua esistenza, identificarne la natura e quantificarla con esattezza sono importanti campi d'indagine per la cosmologia.
Soluzioni delle equazioni di campo |
Le soluzioni particolari dell'equazione di campo hanno dato origine ai vari modelli cosmologici, tra le quali:
- l'universo di de Sitter, che postulava un universo vuoto, in cui le forze gravitazionali fossero trascurabili.
- il modello di Friedmann, direttamente legato alla densità di materia presente nell'universo ed ancora oggi il modello comunemente accettato.
- la soluzione di Lemaitre, una prima rozza formulazione della teoria del Big Bang, in cui le galassie sono frammenti eiettati dall'esplosione di un "atomo primordiale" da cui ha avuto origine l'universo.
Note |
^ Charles W. Misner, Kip S. Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0. Chapter 34, p. 916.
^ L. Corry, J. Renn, J. Stachel, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science n. 278, 14 novembre 1997
^ George Gamow, My World Line : An Informal Autobiography, Viking Adult, 28 aprile 1970, ISBN 0-670-50376-2. URL consultato il 14 marzo 2007.
^ Nicolle Wahl, Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?, 22 novembre 2005. URL consultato il 14 marzo 2007 (archiviato dall'url originale il 7 marzo 2007).
^ Michael S. Turner, Making Sense of the New Cosmology, in Int.J.Mod.Phys. A17S1, vol. 17, maggio 2001, pp. 180–196, Bibcode:2002IJMPA..17S.180T, DOI:10.1142/S0217751X02013113, arXiv:astro-ph/0202008.
^ In particolare misurazioni della radiazione cosmica di fondo effettuate dal satellite WMAP, lanciato nel 2001, indicano che l'universo è molto vicino ad una curvatura nulla.
Voci correlate |
- Big Bang
- Calcolo di Regge
- Modello di Friedmann
- Relatività generale
- Soluzione di Lemaitre
- Spazio-tempo di Schwarzschild
- Universo di de Sitter
Collegamenti esterni |
Equazione di campo di Einstein, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
(EN) Equazione di campo di Einstein, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
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