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Il termine curvatura indica una serie di concetti geometrici legati fra di loro, che intuitivamente si riferiscono alla misura di quanto un determinato oggetto si discosti dall'essere piatto. La misura della curvatura viene definita in modi diversi a seconda dell'ente geometrico cui è applicata.

La nozione di curvatura è alla base della geometria differenziale. Ha notevoli applicazioni in fisica, in particolare nella relatività generale.

Curvatura intrinseca ed estrinseca |

Un percorso chiuso su una sfera

Il medesimo percorso sul piano diventa aperto

Si distinguono due tipi essenziali di curvatura:

• curvatura estrinseca: è la curvatura posseduta dall'oggetto in relazione ad uno spazio piatto di dimensione superiore in cui è immerso e determinabile solo confrontando elementi dell'oggetto in relazione ad elementi dello spazio contenitore;


• curvatura intrinseca: è la curvatura determinabile utilizzando solo operazioni eseguite su elementi dell'oggetto medesimo.

Un esempio di curvatura estrinseca è quella di una superficie cilindrica nello spazio tridimensionale: le linee tracciate sul cilindro sono curve se confrontate con le rette dello spazio in cui il cilindro è immerso. La geometria intrinseca del cilindro è invece piatta, in quanto su di essa valgono tutti gli assiomi del piano euclideo.

Una sfera ha invece una curvatura intrinseca, determinabile rimanendo all'interno della superficie stessa: sulla Terra, un percorso che parte dal polo nord scendendo lungo un meridiano, ruota ad angolo retto lungo un parallelo e nuovamente ad angolo retto lungo un altro meridiano, ritorna al punto di partenza. Un percorso analogo eseguito su un piano non ripassa mai per lo stesso punto.

Misura della curvatura |

La circonferenza offre il modello più semplice di misura della curvatura (estrinseca): poiché, in un piano, la curvatura k{displaystyle k} in un punto P{displaystyle P} indica la sensibilità della tangente in P{displaystyle P} a variare quando si considerano i punti prossimi a P{displaystyle P}, le circonferenze con raggio maggiore hanno una curvatura minore, e viceversa. La curvatura di una curva γ{displaystyle gamma } viene allora definita come il reciproco del raggio di curvatura, ovvero il raggio del cerchio osculatore in un punto:

k:=1R{displaystyle k:={frac {1}{R}}}.

Si tratta di un cerchio di centro E(s)=P(s)+R(s)N(s){displaystyle E(s)=P(s)+R(s)mathbf {N} (s)} tangente alla curva che la approssima "fino al secondo ordine", ovvero che ha le stesse derivate prima e seconda di γ{displaystyle gamma } nel punto (tale luogo geometrico dei centri di curvatura è detto evoluta della curva).

Rappresentazione di una curva e del suo cerchio osculatore, che è tangente nel punto P{displaystyle P}: la curvatura in P{displaystyle P} è il reciproco del raggio r{displaystyle r} del cerchio osculatore.

Se la curva è quasi diritta il cerchio osculatore ha raggio grande e la curvatura è quasi nulla (al limite, vale zero per una retta); grandi curvature corrispondono invece a punti in cui si hanno forti cambiamenti di direzione.

Questa definizione può venire estesa a oggetti più complessi e in dimensione maggiore, come indicato nel seguito.

Curva piana |

Lo stesso argomento in dettaglio: Geometria differenziale delle curve.

Data una curva piana γ:P(s)=(x(s),y(s)){displaystyle gamma :P(s)={big (}x(s),y(s){big )}} (lo stesso ragionamento può ovviamente essere rifatto in tre dimensioni) parametrizzata tramite il parametro arco s{displaystyle s} e siano τ^=(x′(s),y′(s)){displaystyle {hat {tau }}={big (}x'(s),y'(s){big )}} e τ^0=(x′(s0),y′(s0)){displaystyle {hat {tau }}_{0}={big (}x'(s_{0}),y'(s_{0}){big )}} rispettivamente i versori tangenti ad essa nei punti P(s){displaystyle P(s)} e P(s0){displaystyle P(s_{0})}. Detto ϑ{displaystyle vartheta } l'angolo fra essi, il rapporto

km=ϑ|s0−s|{displaystyle displaystyle k_{m}={frac {vartheta }{|s_{0}-s|}}}

si chiama curvatura media e dà un'indicazione della rapidità con cui l'arco P(s)P(s0){displaystyle P(s)P(s_{0})} si scosta dalla direzione della tangente in P(s){displaystyle P(s)}.

Nel disegno è mostrata la curva γ:P(s){displaystyle gamma :P(s)} e le tangenti ad essa nei punti P(s){displaystyle P(s)} generico e P(s0){displaystyle P(s_{0})}.

Si definisce perciò curvatura (estrinseca) il limite della curvatura media per punti P(s0){displaystyle P(s_{0})} prossimi a P(s){displaystyle P(s)}:

k:=lims0→sϑ|s0−s|{displaystyle k:=lim _{s_{0}rightarrow s}{frac {vartheta }{|s_{0}-s|}}}.

Operativamente, si può dimostrare che:

lims0→sϑ|s0−s|=‖P″(s)‖.{displaystyle lim _{s_{0}rightarrow s}{frac {vartheta }{|s_{0}-s|}}=|P''(s)|.}

Una definizione alternativa della curvatura può quindi essere: k=‖dTds‖{displaystyle k=left|{frac {dmathbf {T} }{ds}}right|}, dove T{displaystyle mathbf {T} } è il versore tangente alla curva (si noti come il vettore tangente, se parametrizzato con s{displaystyle s}, ha già modulo unitario).

Per calcolare la curvatura (in qualunque dimensione) si possono utilizzare le seguenti formule:

k=‖dTdt‖‖P′(t)‖,k=‖P′(t)×P″(t)‖‖P′(t)‖3{displaystyle k={frac {left|displaystyle {frac {dmathbf {T} }{dt}}right|}{{big |}P'(t){big |}}},,,,,,,,,,,k={frac {left|P'(t)times P''(t)right|}{{big |}P'(t){big |}^{3}}}}.

Formule utili |

Per il calcolo esplicito della curvatura è possibile utilizzare le seguenti formule:

• Curva in forma parametrica γ(t)=(x(t),y(t)){displaystyle gamma (t)={big (}x(t),y(t){big )}}:
  

  
  k=|x˙y¨−y˙x¨|(x˙2+y˙2)32{displaystyle k={frac {left|{dot {x}}{ddot {y}}-{dot {y}}{ddot {x}}right|}{({{dot {x}}^{2}+{dot {y}}^{2})}^{frac {3}{2}}}}},

  
  

dove i punti sopra le variabili rappresentano le derivate rispetto al parametro t{displaystyle t}. Essa discende direttamente da k=‖P′(t)×P″(t)‖‖P′(t)‖3{displaystyle k={frac {left|P'(t)times P''(t)right|}{{big |}P'(t){big |}^{3}}}} ricordando il prodotto vettoriale in forma matriciale.

• Curva in forma polare r=r(ϑ){displaystyle r=r(vartheta )}:
  

  
  k=|r2+2r′2−rr″|(r2+r′2)32{displaystyle k={frac {{big |}r^{2}+2{r'}^{2}-rr''{big |}}{(r^{2}+{r'}^{2})^{frac {3}{2}}}}},

  
  

dove le derivate sono fatte rispetto a ϑ{displaystyle vartheta }. Anch'essa può essere considerata una caso particolare di quella precedente se si considera una curva polare espressa in forma parametrica {ϕ(ϑ)=r(ϑ)cos⁡ϑφ(ϑ)=r(ϑ)sin⁡ϑ{displaystyle {begin{cases}phi (vartheta )=r(vartheta )cos {vartheta }\varphi (vartheta )=r(vartheta )sin {vartheta }end{cases}}}.

• Curva in forma implicita f(x,y)=0{displaystyle f(x,y)=0}:
  

  
  k=|∇⋅(∇f‖∇f‖)|{displaystyle k=left|nabla cdot left({frac {nabla f}{|nabla f|}}right)right|},

  
  

ovvero la curvatura è la divergenza della direzione del gradiente di f{displaystyle f}.

• Curva in forma esplicita y=f(x){displaystyle y=f(x)}:
  

  
  k=|y″|(1+y′2)32{displaystyle k=displaystyle {frac {|y''|}{left(1+{y'}^{2}right)^{frac {3}{2}}}}},

  
  

ricavabile da quella in forma parametrica ponendo t=x{displaystyle t=x}. Se la pendenza della funzione è trascurabile rispetto all'unità, è possibile utilizzare l'approssimazione

k≈y′′{displaystyle kapprox y^{prime prime }}.

Curva nello spazio |

Lo stesso argomento in dettaglio: Geometria differenziale delle curve.

Il triedro di Frenet di un'elica

Il comportamento di una curva nello spazio R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} si può descrivere tramite la terna di Frenet, un sistema di riferimento formato da tre vettori unitari. Ad esso sono associate due grandezze scalari:

• la curvatura, che è il modulo del vettore normale alla curva, ed estende il concetto di curvatura definito per una curva piana;


• la torsione, che misura di quanto la curva tende a deviare dal piano osculatore (il piano che approssima la curva fino al secondo ordine e che è determinato dai primi due vettori della terna di Frenet); una curva piana ha pertanto torsione pari a zero.

Il vettore di curvatura della proiezione ortogonale della curva sul proprio piano tangente è detto vettore di curvatura geodetica; il suo modulo, chiamato curvatura geodetica esprime un'altra misura della curvatura, intesa come deviazione della curva rispetto all'arco di lunghezza minima fra due punti vicini. Le curve a curvatura geodetica nulla sono dette geodetiche.

Curva in n dimensioni |

Lo stesso argomento in dettaglio: Geometria differenziale delle curve.

Nel caso più generale, una curva immersa in uno spazio Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} viene descritta da n{displaystyle n} vettori ortonormali (sistema generalizzato di Frenet)

e→1(t),…,e→n(t){displaystyle {vec {e}}_{1}(t),ldots ,{vec {e}}_{n}(t)},

a cui sono associate n−1{displaystyle n-1} curvature generalizzate definite da

χi(t)=⟨e→i′(t),e→i+1(t)⟩|f′(t)|{displaystyle chi _{i}(t)={frac {langle {vec {e}}_{i},'(t),{vec {e}}_{i+1}(t)rangle }{|f'(t)|}}}.

Superficie nello spazio |

Lo stesso argomento in dettaglio: Curvatura principale, Curvatura gaussiana e Curvatura media.

Un iperboloide, un cilindro e una sfera: si tratta di superfici con curvatura gaussiana (rispettivamente) negativa, nulla e positiva.

Su una superficie bidimensionale, la curvatura varia a seconda della direzione in cui viene calcolata. È tuttavia possibile darne una misura a partire soltanto da alcune direzioni significative.

Dato un punto P{displaystyle P} della superficie, si considerano tutti i piani passanti per la normale entrante nella superficie in P{displaystyle P}: l'intersezione di ogni piano con la superficie determina una curva piana di cui è possibile calcolare la curvatura, con la seguente convenzione: la curvatura è positiva se la curva devia nello stesso verso della normale, negativa nel caso opposto. I valori massimi e minimi di curvatura così ottenuti sono detti curvature principali, le rispettive direzioni sono dette direzioni principali.
La determinazione delle direzioni principali può essere effettuata con l'utilizzo dell'operatore di Weingarten.

Date le due curvature principali k1{displaystyle k_{1}} e k2{displaystyle k_{2}}, è possibile definire due diverse misure della curvatura: la curvatura gaussiana e la curvatura media.

La curvatura gaussiana è data dal prodotto delle due curvature principali, kG=k1k2{displaystyle k_{G}=k_{1}k_{2}}. Se le due curvature principali hanno lo stesso segno, la curvatura gaussiana è positiva e indica che la superficie è localmente convessa (come nel caso della sfera); se invece hanno segno opposto, la curvatura è negativa e la superficie ha la forma di una sella (come nel caso di un iperboloide). I punti della superficie in cui la curvatura gaussiana è positiva vengono chiamati punti ellittici, i punti in cui è negativa vengono chiamati punti iperbolici. Se in un punto della superficie una sola delle due curvature principali è uguale a zero, la curvatura gaussiana è nulla e il punto si chiama punto parabolico (come nel caso del cilindro); se entrambe le curvature principali sono nulle, il punto si chiama punto planare (è il caso del piano).

Come dimostrò Gauss nel suo Theorema Egregium, la curvatura gaussiana non dipende in effetti dall'immersione della superficie in uno spazio più grande, e può essere definita utilizzando solo caratteristiche della superficie stessa, ad esempio nel seguente modo: la distanza tra due punti sulla superficie è la lunghezza minima tra quelle degli archi che congiungono i due punti restando sulla superficie; una circonferenza sulla superficie è il luogo dei punti a distanza fissa R{displaystyle R} da un punto P{displaystyle P}. La curvatura gaussiana si può calcolare come:

kG=limR→0(2πR−C(R))⋅3πR3{displaystyle k_{G}=lim _{Rrightarrow 0}{big (}2pi R-{mbox{C}}(R){big )}cdot {frac {3}{pi R^{3}}}},

dove C(R){displaystyle {mbox{C}}(R)} è la lunghezza della circonferenza sulla superficie. Per uno spazio piatto, C(R)=2πR{displaystyle {mbox{C}}(R)=2pi R} e la curvatura gaussiana vale zero.

Direzioni principali in un cilindro

La curvatura media è la media aritmetica delle due curvature principali, km=k1+k22{displaystyle k_{m}={frac {k_{1}+k_{2}}{2}}}. Essa dipende dello spazio in cui la superficie è immersa ed è pertanto una curvatura estrinseca. La curvatura media è strettamente legata ai problemi di superficie minima: ogni superficie minima ha curvatura media uguale a zero.

Come esempio di calcolo della curvatura, consideriamo un cilindro di raggio R{displaystyle R}: le due direzioni principali sono quella parallela e quella perpendicolare all'asse del cilindro; le rispettive curvature valgono k1=0{displaystyle k_{1}=0} e k2=1R{displaystyle k_{2}={frac {1}{R}}}. La curvatura gaussiana vale k1k2=0{displaystyle k_{1}k_{2}=0}, pertanto la geometria intrinseca del cilindro è piatta; la curvatura media vale invece k1+k22=12R{displaystyle {frac {k_{1}+k_{2}}{2}}={frac {1}{2R}}}.

Varietà differenziabile |

Trasporto parallelo di un vettore lungo un percorso chiuso su una sfera: al termine del percorso ANBA{displaystyle ANBA} il vettore risulta deviato a causa della curvatura della sfera stessa.

Una varietà differenziabile può venire dotata di una ulteriore struttura che ne determina la metrica (varietà riemanniana o pseudo-riemanniana), e con essa la curvatura; tale struttura è definita dal tensore di curvatura di Riemann.

L'oggetto così definito è strettamente legato ad una definizione intrinseca della curvatura, denominata trasporto parallelo: esso si esegue trascinando punto per punto un vettore lungo un percorso chiuso contenuto nella varietà, in modo che la direzione del vettore (riferita alla varietà e non allo spazio che la contiene) non cambi. Dopo aver percorso un giro completo, il vettore non coincide più con il vettore originario, ma risulta deviato di una quantità che dipende sia dall'area della superficie delimitata dal percorso chiuso, sia dalla curvatura intrinseca della superficie stessa (per superfici piatte la deviazione è nulla).

Utilizzando la notazione di Einstein per i tensori, l'entità della variazione subita da un vettore per un trasporto parallelo lungo il bordo della superficie Σ{displaystyle Sigma } è data da:

ΔAμ=12∫ΣdSβσRνβσμAν{displaystyle Delta A^{mu }={frac {1}{2}}int _{Sigma }{dS^{beta sigma }R_{nu beta sigma }^{mu }A^{nu }}}.

La curvatura dello spazio fisico e la gravità |

Lo stesso argomento in dettaglio: Relatività generale.

Raffigurazione dei tre possibili destini dell'Universo secondo la teoria della relatività: dall'alto, Universo finito a curvatura positiva, universo infinito a curvatura negativa, universo piatto a curvatura nulla.

Secondo la teoria della relatività generale, la gravità è espressione della curvatura dello spaziotempo, una varietà pseudo-riemanniana. A sua volta, la curvatura è determinata dalla distribuzione nello spazio di massa, energia e pressione, secondo l'equazione di campo di Einstein:

Rμν−12gμνR+Λgμν=8πGc4Tμν{displaystyle R_{mu nu }-{1 over 2}g_{mu nu }R+Lambda g_{mu nu }={frac {8pi G}{c^{4}}}T_{mu nu }},

dove R{displaystyle R} è il tensore di Ricci, una contrazione del tensore di Riemann, Λ{displaystyle Lambda } è la costante cosmologica, g{displaystyle g} è la metrica dello spaziotempo, T{displaystyle T} è il tensore energia impulso.

Questa voce o sezione sull'argomento fisica è ritenuta da controllare. Motivo: La cosa è molto più complessa di così, l'evoluzione è dettata dall'equazioni di Friedman e dipende non solo dalla densità media, ma anche dall'equazione di stato del fluido che compone l'universo, dalla presenza o meno di una costante cosmologica, ecc... Vedasi https://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann_equations Partecipa alla discussione e/o correggi la voce. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

Si può dimostrare che sia la curvatura dell'Universo che la sua storia sono completamente determinate dalla sua densità media Ω0{displaystyle Omega _{0}}: al di sopra di un particolare densità critica, lo spaziotempo ha curvatura positiva, è finito e illimitato, ed è destinato a contrarsi nuovamente nel futuro (Big Crunch); al di sotto della densità critica, lo spaziotempo ha curvatura negativa, e l'Universo si espanderà per sempre; una densità media esattamente uguale alla densità critica corrisponde ad un Universo piatto, con una espansione infinita, che però tende a rallentare sempre più approssimandosi ad una espansione nulla.

Note |

Bibliografia |

• (EN) Bernard F. Schutz, Curved manifolds, in Bernard F. Schutz, A first course in general relativity. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-27703-5
  


• Calogero Vinti, Lezioni di analisi matematica (con esercizi svolti e proposti), Volume II, Galeno Editrice - Perugia, 1983.

Voci correlate |

• Geometria differenziale


• Geometrie non euclidee


• Curva (matematica)


• Lunghezza di un arco


• Superficie parametrica


• Tensore


• Relatività generale


• Teorema di Gauss-Bonnet

Altri progetti |

• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su curvatura
  

Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Curvatura, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


• 
  (EN) Curvatura, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
  


• Il concetto di curvatura da vialattea.net, su vialattea.net.

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