Jfyhkgu

Неравенство Йенсена обобщает тот факт, что секущая графика выпуклой функции находится над графиком.

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, введённое Иоганом Йенсеном и тесно связанное с определением выпуклой функции.

Формулировки |

Конечный случай |

Пусть линейный функционал f(x){displaystyle fleft(xright)} является выпуклым на некотором выпуклом подмножестве X{displaystyle {mathcal {X}}} некоторого вещественного линейного пространства и числа  q1,q2,…,qn{displaystyle q_{1},q_{2},ldots ,q_{n}} таковы, что  q1,q2,…,qn>0{displaystyle q_{1},q_{2},ldots ,q_{n}>0} и  q1+q2+…+qn=1{displaystyle q_{1}+q_{2}+ldots +q_{n}=1}.
Тогда каковы бы ни были элементы  x1,x2,…,xn{displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}} из множества X{displaystyle {mathcal {X}}}, выполняется неравенство:

f(q1x1+q2x2+…+qnxn)≤q1f(x1)+q2f(x2)+…+qnf(xn){displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+ldots +q_{n}x_{n})leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+ldots +q_{n}f(x_{n})}

или

f(∑i=1nqixi)≤∑i=1nqif(xi){displaystyle fleft(sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}right)leq sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})}.

Замечания:

• Если функция  f(x){displaystyle f(x)} вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.


• Сам Иоган Йенсен исходил из более частного соотношения, а именно

f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2{displaystyle fleft({frac {x_{1}+x_{2}}{2}}right)leq {frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}}, оно отвечает случаю q1=q2=12{displaystyle q_{1}=q_{2}={frac {1}{2}}}.

Геометрическая интерпретация |

Точка (∑i=1nqixi;∑i=1nqif(xi)){displaystyle (sum limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};sum limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})} является соответствующей выпуклой комбинацией точек (x1,f(x1)),(x2,f(x2)),…,(xn,f(xn)){displaystyle (x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2})),dots ,(x_{n},f(x_{n}))}. Из определения выпуклой функции очевидно, что выпуклая оболочка этого множества точек будет совпадать с самим множеством. Значит, из свойств выпуклой комбинации следует, что образованная точка будет лежать внутри многоугольника, построенного на перечисленных точках в указанном порядке (если соединить последнюю с первой).

Геометрически очевидно, что в этом случае точка (∑i=1nqixi;∑i=1nqif(xi)){displaystyle (sum limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};sum limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})} будет лежать выше одной из прямых вида (xi;f(xi))−(xi+1;f(xi+1)){displaystyle (x_{i};f(x_{i}))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))}. Но у выпуклой функции по определению такая прямая лежит выше графика функции. Значит, и точка (∑i=1nqixi;∑i=1nqif(xi)){displaystyle (sum limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};sum limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})} лежит выше этого графика, что и означает, что f(∑i=1nqixi)≤∑i=1nqif(xi){displaystyle f(sum limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}})leq sum limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})}}.

Интегральная формулировка |

Для выпуклой функции φ(x){displaystyle varphi left(xright)} и интегрируемой функции f(x){displaystyle fleft(xright)} выполняется неравенство

φ(∫abf(x)dx)≤1b−a∫abφ((b−a)f(x))dx.{displaystyle varphi left(int _{a}^{b}f(x),dxright)leq {frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}varphi ((b-a)f(x)),dx.}

Вероятностная формулировка |

Пусть (Ω,F,P){displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} — вероятностное пространство, и X:Ω→R{displaystyle Xcolon Omega to mathbb {R} } — определённая на нём случайная величина.
Пусть также φ:R→R{displaystyle varphi colon mathbb {R} to mathbb {R} } — выпуклая (вниз) борелевская функция.
Тогда если X,φ(X)∈L1(Ω,F,P){displaystyle X,varphi (X)in L^{1}(Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )}, то

φ(E[X])⩽E[φ(X)]{displaystyle varphi (mathbb {E} [X])leqslant mathbb {E} [varphi (X)]},

где E[⋅]{displaystyle mathbb {E} [cdot ]} означает математическое ожидание.

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания |

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, G⊂F{displaystyle {mathcal {G}}subset {mathcal {F}}} — под-σ-алгебра событий. Тогда

φ(E[X|G])⩽E[φ(X)|G]{displaystyle varphi (mathbb {E} [X|{mathcal {G}}])leqslant mathbb {E} [varphi (X)|{mathcal {G}}]},

где E[⋅|G]{displaystyle mathbb {E} [cdot |{mathcal {G}}]} обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры G{displaystyle {mathcal {G}}}.

Частные случаи |

Неравенство Гёльдера |

• Пусть  f(x)=xk{displaystyle f(x)=x^{k}}, где  x>0,{displaystyle x>0,}  k>1{displaystyle k>1} (выпуклая функция). Имеем

(∑i=1nqixi)k≤∑i=1nqixik{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}right)^{k}leq sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}^{k}}},       q1,…,qn>0{displaystyle q_{1},ldots ,q_{n}>0} и  q1+…+qn=1{displaystyle q_{1}+ldots +q_{n}=1}

Обозначим  qi=pip1+…+pn{displaystyle q_{i}={frac {p_{i}}{p_{1}+ldots +p_{n}}}}, где  p1,…,pn{displaystyle p_{1},ldots ,p_{n}}- произвольные положительные числа, тогда неравенство запишется в виде

(∑i=1npixi)k≤(∑i=1npi)k−1∑i=1npixik{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}}right)^{k}leq left(sum _{i=1}^{n}{p_{i}}right)^{k-1}sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}^{k}}}.

Заменяя здесь  pi{displaystyle p_{i}} на  bikk−1{displaystyle b_{i}^{frac {k}{k-1}}} и  xi{displaystyle x_{i}} на aibi1k−1{displaystyle {frac {a_{i}}{b_{i}^{frac {1}{k-1}}}}}, получаем известное неравенство Гёльдера:

∑i=1naibi≤(∑i=1naik)1k(∑i=1nbikk−1)k−1k{displaystyle sum _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}leq left(sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{k}right)^{frac {1}{k}}left(sum _{i=1}^{n}{b_{i}}^{frac {k}{k-1}}right)^{frac {k-1}{k}}}.

Неравенство Коши |

• Пусть  f(x)=ln⁡x{displaystyle f(x)=ln x} (вогнутая функция). Имеем

∑i=1nqiln⁡xi≤ln⁡(∑i=1nqixi){displaystyle sum _{i=1}^{n}{q_{i}ln x_{i}}leq ln left(sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}right)}, или ln⁡∏i=1nxiqi≤ln⁡∑i=1nqixi{displaystyle ln prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}leq ln sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}, потенцируя получаем ∏i=1nxiqi≤∑i=1nqixi{displaystyle prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}leq sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}.

В частности при qi=1n{displaystyle q_{i}={frac {1}{n}}} получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

x1…xnn≤x1+…+xnn{displaystyle {sqrt[{n}]{x_{1}ldots x_{n}}}leq {frac {x_{1}+ldots +x_{n}}{n}}}.

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим |

• Пусть  f(x)=xln⁡x{displaystyle f(x)=xln x} (выпуклая функция). Имеем

(∑i=1nqixi)ln⁡(∑i=1nqixi)≤∑i=1nqixiln⁡xi{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}right)ln left(sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}right)leq sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}ln x_{i}}}. Положив qi=1xi∑i=1n1xi{displaystyle q_{i}={frac {frac {1}{x_{i}}}{sum _{i=1}^{n}{frac {1}{x_{i}}}}}} и потенцируя, получаем

n1x1+…+1xn≤(x1⋅…⋅xn)1/n{displaystyle {frac {n}{{frac {1}{x_{1}}}+ldots +{frac {1}{x_{n}}}}}leq left(x_{1}cdot ldots cdot x_{n}right)^{1/n}} (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим |

• Пусть  f(x)=1x{displaystyle f(x)={frac {1}{x}}} (выпуклая функция). Имеем 1∑i=1nqixi≤∑i=1nqixi{displaystyle {frac {1}{sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}}leq sum _{i=1}^{n}{frac {q_{i}}{x_{i}}}}
  

В частности при qi=1n{displaystyle q_{i}={frac {1}{n}}} получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

n1x1+…+1xn≤x1+…+xnn{displaystyle {frac {n}{{frac {1}{x_{1}}}+ldots +{frac {1}{x_{n}}}}}leq {frac {x_{1}+ldots +x_{n}}{n}}}

См. также |

• Неравенство Юнга


• Неравенство Минковского


• Неравенство Гёльдера

Литература |

• Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5.


• Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.