Jfyhkgu

Выпуклый функционал — функционал, являющийся выпуклой функцией, то есть, надграфик которого является выпуклым множеством.

Формально, функционал p{displaystyle p}, определённый на линейном пространстве L{displaystyle L}, называется выпуклым, если выполнено^[1]:

p(αx+βy)≤αp(x)+βp(y) ,∀x,y∈L,∀α,β⩾0,α+β=1{displaystyle p(alpha x+beta y)leq alpha p(x)+beta p(y) ,forall x,yin L,forall alpha ,beta geqslant 0,alpha +beta =1}.

Примерами выпуклых функционалов являются полунорма, норма, линейный функционал и функционал Минковского выпуклого и симметричного множества.

Если p{displaystyle p} и q{displaystyle q} — выпуклые функционалы, α{displaystyle alpha } — положительное число, то следующие функционалы являются выпуклыми:

• (p+q)(x)=p(x)+q(x){displaystyle (p+q)(x)=p(x)+q(x)}


• (αp)(x)=αp(x){displaystyle (alpha p)(x)=alpha p(x)}


• (p∨q)(x)=max(p(x),q(x)){displaystyle (pvee q)(x)=max(p(x),q(x))}


• Инфимальная конволюция: (p⊕q)(x)=infy+z=x(p(y)+q(z)){displaystyle (poplus q)(x)=inf _{y+z=x}(p(y)+q(z))}
  

Теория выпуклых функционалов используется в выпуклом программировании^[2].

Ссылки |

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.


• 
  Выпуклый функционал — статья из Математической энциклопедии. В. М. Тихомиров

Примечания |

Литература |

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы.