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Il principio d'indeterminazione^{[Nota 1][1]}di Heisenberg stabilisce, in meccanica quantistica, i limiti nella misurazione^{[Nota 2][2][3]} dei valori di grandezze fisiche coniugate^{[Nota 3]} o, nelle formulazioni più recenti e generali, incompatibili^{[Nota 4][4]} in un sistema fisico.

Nella forma più nota, viene espresso dalla relazione:

Δx⋅Δpx≥ℏ2{displaystyle Delta xcdot Delta p_{x},geq ,{frac {hbar }{2}}}

fra l'incertezza sulla posizione (Δx{displaystyle Delta x}) e quella sulla quantità di moto (Δpx{displaystyle Delta p_{x}}) di una particella, dove ℏ{displaystyle hbar } è la costante di Planck ridotta.

Enunciato nel 1927 da Werner Karl Heisenberg^[5] e confermato da innumerevoli esperimenti, rappresenta un concetto cardine della meccanica quantistica e sancisce una radicale rottura rispetto alle leggi della meccanica classica.

Introduzione |

I postulati della meccanica quantistica, così come i dettagli del processo di misura, stabiliscono una serie di relazioni e disuguaglianze d'indeterminazione^[6] che possono essere correlate di volta in volta all'impossibilità di conoscere i dettagli di un sistema senza perturbarlo (indeterminazione di Heisenberg), all'indeterminazione intrinseca ai sistemi quantistici (disuguaglianza di Robertson) o all'impossibilità di determinare contemporaneamente nello stesso sistema il valore di due osservabili complementari (principio di complementarità di Bohr).
Nel corso di decenni di ricerche si è appurato che a partire dai postulati della meccanica quantistica è possibile ricavare tali relazioni (sia la formulazione originale di Heisenberg,^[1][7] sia quelle successive^[6]), cioè dimostrare perché certe coppie di grandezze fisiche non siano misurabili contemporaneamente (complementarità di Bohr) o in successione^{[Nota 5]} (indeterminazione di Heisenberg) con precisione arbitraria (e men che meno assoluta).

Il ruolo del principio d'indeterminazione nella fisica moderna e nei fondamenti della meccanica quantistica è stato oggetto di un lungo dibattito.^[8] Strettamente parlando, le relazioni di indeterminazione sono ricavate come conseguenza dei postulati della meccanica quantistica. Secondo un possibile punto di vista, l'importanza della scoperta di Heisenberg è quindi principalmente storica, rilevante più che altro per aver messo in evidenza le proprietà di una teoria completamente diversa dalla fisica classica.^{[Nota 6]} Tuttavia, secondo un diverso punto di vista, il principio d'indeterminazione nella sua forma più generale di indeterminismo quantico resta un principio d'assoluta generalità che, al pari del principio di relatività, risulta fondamento della fisica moderna.^[8]

Relazioni d'indeterminazione di Heisenberg |

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«Nell'ambito della realtà le cui condizioni sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono quindi a una completa determinazione di ciò che accade nello spazio e nel tempo; l'accadere (all'interno delle frequenze determinate per mezzo delle connessioni) è piuttosto rimesso al gioco del caso.»

(Werner Karl Heisenberg,[9] 1942)

L'esperimento mentale col microscopio |

Nell'articolo^[5] del 1927, la relazione d'indeterminazione posizione/momento viene ricavata, mediante l'esperimento mentale del microscopio, da leggi ottiche e dall'effetto Compton d'interazione tra un fotone energetico γ{displaystyle gamma } e un elettrone inizialmente fermo. Il fotone (verde) arriva da sinistra (asse X{displaystyle X}), urta l'elettrone (blu) che si muoverà e ne viene a sua volta deviato, entrando nel microscopio (fotone rosso) con una lunghezza d'onda λ′{displaystyle lambda '} maggiore di quella λ{displaystyle lambda } del fotone verde incidente (effetto Compton: λ′>λ{displaystyle lambda '>lambda }).
La lente del microscopio ha un'accettanza angolare θ{displaystyle theta } e la risoluzione ottica Δx{displaystyle Delta x} con cui il microscopio "vede" l'elettrone vale:

Δx≃λ′2sinθ{displaystyle Delta x,simeq ,{frac {lambda '}{2,sintheta }}}.

Il fotone entra nel microscopio con un angolo indeterminato, ma certamente compreso tra +θ{displaystyle +theta } e −θ{displaystyle -theta } (è questa l'unica informazione disponibile sulla direzione del fotone).
La quantità di moto del fotone lungo l'asse X{displaystyle X} è allora affetta da un'indeterminazione proporzionale a

Δpx≃2p′sinθ≃hλ′2sinθ{displaystyle Delta p_{x},simeq ,2,p',sintheta ,simeq ,{frac {h}{lambda '}},2,sintheta }

in cui si è fatto uso della relazione di de Broglie

p=hλ{displaystyle p,=,{frac {h}{lambda }}}.

Per la conservazione della quantità di moto, Δpx{displaystyle Delta p_{x}} è anche correlato all'indeterminazione del momento
dell'elettrone.

Per l'elettrone deve quindi valere

Δx⋅Δpx≃λ′2sinθhλ′2sinθ≃h{displaystyle Delta xcdot Delta p_{x},simeq ,{frac {lambda '}{2,sintheta }},,{frac {h}{lambda '}},2,sintheta ,simeq ,h}.

Questa relazione, ancora semi-quantitativa, venne presto riformulata nei termini della disuguaglianza oggi nota, che si riferisce all'indeterminazione minimale:

Δx⋅Δpx≥ℏ2{displaystyle Delta xcdot Delta p_{x},geq ,{frac {hbar }{2}}}.

La disuguaglianza posizione/momento impone che il prodotto delle due incertezze (Δx{displaystyle Delta x} e Δpx{displaystyle Delta p_{x}}) sia sempre maggiore o al più uguale ad un valore minimo. Il principio d'indeterminazione implica quindi che per una particella non sia possibile misurare in tempi successivi^{[Nota 5]}, e quindi conoscere, un definito valore della posizione e della quantità di moto con precisione assoluta, ovvero con incertezza nulla. Tanto più si tenta di ridurre l'incertezza su una variabile, tanto più aumenta l'incertezza sull'altra (relazione di proporzionalità inversa tra le due).
In un libro divulgativo^[10] viene utilizzata la metafora del ladro sorpreso di notte mentre ruba. Se lo si illumina con una lampada, scappa per non farsi individuare, mentre se si resta al buio si seguiranno le sue azioni senza poterne conoscere l'identità.

In molti testi divulgativi e talvolta anche universitari viene affermato che l'indeterminazione di Heisenberg fa riferimento a misure simultanee. Heisenberg nell'articolo originale^[5] non menziona misure o procedimenti di misurazione, ma si limita a parlare di grandezze fisiche e delle incertezze con cui possono essere conosciute. Fu invece Bohr ad introdurre l'impossibilità di misure simultanee, che però andrebbe riferita alla complementarità e non all'indeterminazione di Heisenberg: «Bohr ha criticato Heisenberg per il suo suggerimento che queste relazioni fossero dovute solo a cambi discontinui che avvengono durante il processo di misura e indicò che le incertezze nell'esperimento non emergevano esclusivamente dalla discontinuità (esistenza del quanto d'azione), ma anche dal fatto che posizione e momento dell'elettrone non possono essere simultaneamente definite nell'esperimento del microscopio ('aggiunta alle bozze' in Heisenberg^[5]), e che noi dobbiamo considerare sia la teoria corpuscolare sia la teoria ondulatoria.»^[11] In seguito lo stesso Heisenberg sostenne invece la simultaneità delle due misurazioni. Nelle lezioni tenute all'università di Chicago nel 1929 affermò che
«Le relazioni di indeterminazione riguardano il grado di esattezza raggiungibile nella conoscenza dei valori assunti simultaneamente dalle diverse grandezze che intervengono nella teoria dei quanti...»^[3]. Ma, facendo un'analisi critica, H. Margenau ha evidenziato^[12] nel 1963 che le relazioni d'indeterminazione di Heisenberg per misurazioni simultanee di variabili dinamiche canonicamente coniugate non sono riconducibili ad alcuna interpretazione significativa nell'ambito della meccanica quantistica usuale.^[11] La misura simultanea d'osservabili incompatibili è stata realizzata sperimentalmente^[13] per la prima volta nel 2016. Dettagli sul significato di tali misure e sulla differenza con le misurazioni in successione tipiche dell'indeterminazione di Heisenberg sono forniti nella sezione successiva.

Altre disuguaglianze di Heisenberg |

Se si indica con ΔA{displaystyle Delta A} l'errore sulla misura dell'osservabile A{displaystyle A} e con ΔB{displaystyle Delta B} il disturbo prodotto dalla precedente misura di A{displaystyle A} su una successiva misura della variabile coniugata^{[Nota 3]}B,{displaystyle B,} l'indeterminazione di Heisenberg generalizzata è

ΔA⋅ΔB≥ℏ2{displaystyle Delta Acdot Delta B,geq ,{frac {hbar }{2}}}.

Utilizzando una notazione più moderna,^[14] se indichiamo invece con ϵA{displaystyle epsilon _{A}} l'errore sulla misura dell'osservabile A{displaystyle A} e con ηB{displaystyle eta _{B}} il disturbo prodotto dalla precedente misura di A{displaystyle A} su una successiva misura della variabile coniugata^{[Nota 3]}B,{displaystyle B,} l'indeterminazione di Heisenberg per misure successive (prima A,{displaystyle A,} poi B{displaystyle B}) ^{[Nota 7]} diventa

ϵA⋅ηB≥12|⟨[A^,B^]⟩|=ℏ2{displaystyle epsilon _{A}cdot eta _{B},geq ,{frac {1}{2}},left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle right|,=,{frac {hbar }{2}}}

con

⟨[A^,B^]⟩≡⟨ψ|[A^,B^]|ψ⟩=iℏ⟨ψ|ψ⟩=iℏ{displaystyle leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle ,equiv ,leftlangle psi left|,left[{hat {A}},{hat {B}},right],right|psi rightrangle ,=,i,hbar ,leftlangle psi |psi rightrangle ,=,i,hbar }

valore d'aspettazione del commutatore [A^,B^]=iℏ{displaystyle left[{hat {A}},{hat {B}},right]=i,hbar } calcolato per una specifica funzione d'onda ψ{displaystyle psi } del sistema quantistico.

Usando lo stesso formalismo, è possibile descrivere un'altra situazione fisica,^[14] talvolta confusa con la precedente, ovvero il caso di misurazioni simultanee (A{displaystyle A} e B{displaystyle B} contemporaneamente) di grandezze incompatibili:^{[Nota 4][4]}

ϵA⋅ϵB≥12|⟨[A^,B^]⟩|{displaystyle epsilon _{A}cdot epsilon _{B},geq ,{frac {1}{2}},left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle right|}

dove stavolta, essendo A{displaystyle A} e B{displaystyle B} incompatibili, più genericamente vale

[A^,B^]≠0{displaystyle left[{hat {A}},{hat {B}},right]neq 0}.

Due misure simultanee su A{displaystyle A} e B{displaystyle B} sono necessariamente^[15]weak (deboli) o unsharp (smussate).^[16] Ciascuna estrae quindi solo parzialmente l'informazione disponibile sul sistema.^{[Nota 8]} La misura simultanea d'osservabili non commutanti è stata realizzata sperimentalmente^[13] solo nel 2016.

In termini più generali, quando due grandezze fisiche, dette osservabili fisiche, non possono essere misurate entrambe sullo stesso sistema sono dette complementari. Esempi di coppie di osservabili complementari sono le componenti dei vettori di spin (o del momento angolare), la posizione e la velocità in una direzione. Osservabili complementari hanno necessariamente commutatore non nullo, e risultano pertanto anche incompatibili. In tal senso l'indeterminazione è connessa (in modo tuttora non chiaro) al principio di complementarità, che si esplicita anche nel dualismo onda/particella: le particelle subatomiche possono esibire proprietà sia corpuscolari sia ondulatorie. Poiché il principio d'indeterminazione esprime l'impossibilità di determinare con precisione a priori illimitata i valori di due variabili incompatibili, l'osservatore dovrà scegliere quale misura privilegiare e disporre gli strumenti di misura di conseguenza.

Si noti che il principio d'indeterminazione non si applica a tutte le possibili coppie di osservabili. Ad esempio, è sempre possibile, in linea di principio, misurare contemporaneamente posizione e carica elettrica con precisione arbitraria. In maniera analoga, mentre il principio d'indeterminazione si applica alla misura di x{displaystyle x} e della componente px{displaystyle p_{x}} della quantità di moto lungo x{displaystyle x}, questo non si applica alla misura contemporanea di x{displaystyle x} e di py{displaystyle p_{y}} (dato che [x,py]=0{displaystyle [x,p_{y}]=0}). Infine, tale principio non pone invece vincoli alla misura di una singola grandezza, che può
essere determinata con precisione arbitraria.

Indeterminazione e non commutatività |

Nella formulazione hamiltoniana della meccanica quantistica, le variabili fisiche sono rappresentate da operatori autoaggiunti,^{[Nota 9]} come x^{displaystyle {hat {x}}} (posizione della particella) e p^x=−iℏddx{displaystyle {hat {p}}_{x}=-i,hbar {frac {d}{dx}}} (componente del momento della particella lungo x{displaystyle x}).

Questi due operatori non commutano, come si vede calcolando i prodotti x(d/dx){displaystyle x,(d/dx)} e (d/dx)x{displaystyle (d/dx),x} su una funzione d'onda monodimensionale ψ(x){displaystyle psi (x)} :

xddxψ(x)=x⋅ψ′(x)ddx(x⋅ψ(x))=ψ(x)+x⋅ψ′(x){displaystyle {begin{aligned}&x,{d over dx},psi (x)=xcdot psi '(x)\&{d over dx},left(xcdot psi (x)right)=psi (x)+xcdot psi '(x)end{aligned}}}.

Dal confronto è evidente che il commutatore tra x{displaystyle x} e d/dx{displaystyle d/dx} risulta essere non nullo:

[x,ddx]ψ(x)=(xddx−ddxx)ψ(x)=x⋅ψ′(x)−(ψ(x)+x⋅ψ′(x))=−ψ(x){displaystyle left[x,,{d over dx}right]psi (x)=left(x,{d over dx}-{d over dx},xright)psi (x)=xcdot psi '(x)-left(psi (x)+xcdot psi '(x)right)=-,psi (x)}

Il commutatore di x^{displaystyle {hat {x}}} e p^x=−iℏddx{displaystyle {hat {p}}_{x}=-i,hbar {d over dx}} coincide, a meno della costante −iℏ{displaystyle -i,hbar }, con l'esempio fatto sopra:

[x^,p^x]ψ(x)=−iℏ[x,ddx]ψ(x)=−iℏ(−ψ(x))=iℏψ(x){displaystyle left[{hat {x}},,{hat {p}}_{x}right]psi (x)=-i,hbar ,left[x,,{d over dx}right]psi (x)=-i,hbar ,(-,psi (x))=i,hbar ,psi (x)}.

Eliminando la generica funzione d'onda ψ(x){displaystyle psi (x)} da tutti i membri, si trova il valore del commutatore tra x^{displaystyle {hat {x}}} e p^{displaystyle {hat {p}}} come equazione fra operatori:

[x^,p^x]=x^p^x−p^xx^=iℏ{displaystyle left[{hat {x}},,{hat {p}}_{x}right]={hat {x}},{hat {p}}_{x}-{hat {p}}_{x},{hat {x}},=,i,hbar }.

In generale, due grandezze osservabili A{displaystyle A} e B{displaystyle B}, corrispondenti ad operatori autoaggiunti A^{displaystyle {hat {A}}} e B^{displaystyle {hat {B}}} che non commutano, sono dette incompatibili.^[4]

In particolare, se il commutatore vale iℏ{displaystyle ihbar }, le corrispondenti osservabili incompatibili (x{displaystyle x} e px{displaystyle p_{x}}, ad esempio) sono anche canonicamente coniugate.^{[Nota 10][17][18]}

Il principio d'indeterminazione di Heisenberg riguarda osservabili incompatibili e coniugate, il cui commutatore è del tipo [A^,B^]=iℏ.{displaystyle left[{hat {A}},{hat {B}}right]=ihbar .}^{[Nota 11]} Tali osservabili non sono conoscibili entrambe, a seguito di misure simultanee (complementarità di Bohr) o successive (indeterminazione di Heisenberg), con precisione arbitraria. Ad esempio, il valore del commutatore tra x^{displaystyle {hat {x}}} e p^x{displaystyle {hat {p}}_{x}} impone che la posizione x{displaystyle x} e il momento lineare px{displaystyle p_{x}} lungo tale direzione siano grandezze incompatibili e coniugate, ovvero non determinabili entrambe con precisione arbitraria.

Nel caso dei momenti angolari atomici dell'idrogeno, E. U. Condon^[19] nel 1929 produsse tre esempi d'apparente violazione della relazione d'indeterminazione di Heisenberg^{[Nota 12]}. In tutti e tre i casi si trattava d'osservabili incompatibili ma non coniugate, il cui commutatore è del tipo [A^,B^]=iC^{displaystyle left[{hat {A}},{hat {B}}right]=i,{hat {C}}}. Per queste osservabili non vale la disuguaglianza di Heisenberg (che si applica ad osservabili incompatibili e coniugate), ma solo quella di Robertson,^[20]
che si applica a tutte le osservabili incompatibili. L'apparente violazione era in realtà risolta, data l'inapplicabilità dell'indeterminazione di Heisenberg ai tre esempi di Condon.

Relazioni d'indeterminazione statistiche |

Mentre le incertezze Δx{displaystyle Delta x} e Δpx{displaystyle Delta p_{x}} di Heisenberg si riferiscono a misurazioni successive d'osservabili incompatibili e coniugate, l'introduzione delle deviazioni standard σx{displaystyle sigma _{x}} e σp{displaystyle sigma _{p}} nella disuguaglianza di Kennard (o delle analoghe σA{displaystyle sigma _{A}} e σB{displaystyle sigma _{B}} per Robertson e Schrödinger)
è connessa alla loro natura statistica. La differente notazione è legata al diverso significato di queste disuguaglianze rispetto a quelle di Heisenberg, come sarà discusso nella sezione Indeterminazione operazionale e intrinseca.

Disuguaglianza di Kennard |

L'indeterminazione posizione/momento, nella formulazione introdotta da E. H. Kennard^[21] sempre nel 1927, assume la forma di una disuguaglianza del prodotto tra la deviazione standard σx{displaystyle sigma _{x}} della posizione x{displaystyle x} e quella σp{displaystyle sigma _{p}} della quantità di moto p{displaystyle p} di una particella:

σx⋅σp≥ℏ2{displaystyle sigma _{x}cdot sigma _{p},geq ,{frac {hbar }{2}}}.

Pacchetto d'onde gaussiano |

Un esempio tipico è l'evoluzione spontanea di un pacchetto d'onde gaussiano^[22] - associato ad una particella di massa m{displaystyle m} - centrato nell'origine (xo=0{displaystyle x_{o}=0}) e descritto dalla funzione gaussiana

ψ(x,t)=12πσx(t)e−(1/4)[x/σx(t)]2+ikox{displaystyle psi (x,t),=,{sqrt {frac {1}{{sqrt {2pi }},sigma _{x}(t)}}},,e^{-(1/4),[x/sigma _{x}(t)]^{2},+,ik_{o}x}}

con σx{displaystyle sigma _{x}} deviazione standard della posizione e ko{displaystyle k_{o}} numero d'onda angolare costante.

Anche la densità di probabilità ha le stesse caratteristiche funzionali del pacchetto d'onde:

ρ(x,t)=|ψ(x,t)|2=12πσx(t)e−(1/2)[x/σx(t)]2.{displaystyle rho (x,t),=,|psi (x,t)|^{2},=,{frac {1}{{sqrt {2pi }},sigma _{x}(t)}},,e^{-(1/2),[x/sigma _{x}(t)]^{2}}.}

L'ampiezza del pacchetto d'onde aumenta nel tempo. Quindi il pacchetto si disperde e risulterà definito spazialmente con minor precisione:

σx(t)=12σk1+(ttd)2{displaystyle sigma _{x}(t),=,{frac {1}{2sigma _{k}}},,{sqrt {1+left({frac {t}{t_{d}}}right)^{2}}}}

con σk{displaystyle sigma _{k}} deviazione standard del numero d'onda angolare e td{displaystyle t_{d}} tempo caratteristico di diffusione che dipende da σk{displaystyle sigma _{k}} e dalla massa m{displaystyle m} della particella associata al pacchetto d'onde:

td=m2ℏσk2.{displaystyle t_{d},=,{frac {m}{2,hbar ,sigma _{k}^{2}}}.}

Nell'istante iniziale (t=0{displaystyle t=0}) il pacchetto d'onde ha la dispersione minima:

σx(0)⋅σk=12{displaystyle sigma _{x}(0)cdot sigma _{k},=,{frac {1}{2}}}

che permette di riscrivere la relazione per σx(t){displaystyle sigma _{x}(t)} evidenziandone la dipendenza da σx(0):{displaystyle sigma _{x}(0):}

σx(t)=σx(0)1+(ttd)2.{displaystyle sigma _{x}(t),=,sigma _{x}(0),,{sqrt {1+left({frac {t}{t_{d}}}right)^{2}}}.}

Asintoticamente (per t≫td{displaystyle tgg t_{d}} e quindi (t/td)2≫1{displaystyle (t/t_{d})^{2}gg 1}) l'aumento della deviazione standard σx(t){displaystyle sigma _{x}(t)} risulta lineare col tempo t:{displaystyle t:}

σx(t)≃σx(0)tdt=ℏσkmt.{displaystyle sigma _{x}(t),simeq ,{frac {sigma _{x}(0)}{t_{d}}},,t,=,{frac {hbar ,sigma _{k}}{m}},,t.}

Tenuto conto che px=ℏk{displaystyle p_{x}=hbar ,k} e quindi σp=ℏσk{displaystyle sigma _{p}=hbar ,sigma _{k}}, la dispersione minima (t=0{displaystyle t=0}) del pacchetto d'onde diventa ora

σx(0)⋅σp=ℏ2{displaystyle sigma _{x}(0)cdot sigma _{p},=,{frac {hbar }{2}}}

mentre per tutti i tempi successivi (t>0{displaystyle t>0}) si ottiene una dispersione maggiore:

σx(t)⋅σp>ℏ2.{displaystyle sigma _{x}(t)cdot sigma _{p},>,{frac {hbar }{2}}.}

La relazione valida per ogni valore non negativo di t{displaystyle t} coincide con la relazione d'indeterminazione di Kennard:

σx⋅σp≥ℏ2{displaystyle sigma _{x}cdot sigma _{p},geq ,{frac {hbar }{2}}}.

Disuguaglianza di Robertson |

La relazione d'indeterminazione dimostrata da Kennard per l'indeterminazione posizione/momento venne estesa nel 1929 da H. P. Robertson^[23] al caso di due generiche variabili incompatibili, facendo uso delle deviazioni standard σA{displaystyle sigma _{A}} e σB{displaystyle sigma _{B}} di due osservabili incompatibili A{displaystyle A} e B{displaystyle B} associate a un sistema quantistico:^{[Nota 13][24]}

σA⋅σB≥12|⟨[A^,B^]⟩|{displaystyle sigma _{A}cdot sigma _{B}geq {frac {1}{2}},left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle right|}

Il secondo termine contiene il valore d'aspettazione del commutatore [A^,B^]{displaystyle left[{hat {A}},{hat {B}},right]} calcolato per una specifica funzione d'onda ψ{displaystyle psi } del sistema quantistico:

⟨[A^,B^]⟩≡⟨ψ|[A^,B^]|ψ⟩{displaystyle leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle equiv leftlangle psi left|,left[{hat {A}},{hat {B}},right],right|psi rightrangle }

Potrebbe quindi accadere che, anche con commutatore non nullo [A^,B^]=iC^≠0{displaystyle left[{hat {A}},{hat {B}},right]=i,{hat {C}}neq 0}, il valore d'aspettazione sia nullo. Infatti

⟨ψ|[A^,B^]|ψ⟩=i⟨ψ|C^|ψ⟩{displaystyle leftlangle psi left|,left[{hat {A}},{hat {B}},right],right|psi rightrangle =i,leftlangle psi left|,{hat {C}},right|psi rightrangle }

dipende dal valore di C^|ψ⟩{displaystyle {hat {C}},|psi rangle } che, a seconda della forma dell'operatore C^{displaystyle {hat {C}}} e della funzione d'onda ψ{displaystyle psi }, potrebbe essere C^|ψ⟩=0{displaystyle {hat {C}},|psi rangle =0}.^{[Nota 14]}

Dimostrazione |

Presi gli operatori A^{displaystyle {hat {A}}} e B^{displaystyle {hat {B}}} (associati alle grandezze osservabili A e B) si possono definire gli scarti dalla media come A^0=A^−⟨A^⟩{displaystyle {hat {A}}_{0}={hat {A}}-leftlangle {hat {A}}rightrangle } e B^0=B^−⟨B^⟩{displaystyle {hat {B}}_{0}={hat {B}}-leftlangle {hat {B}}rightrangle }.

Di conseguenza le varianze hanno la forma σ2(A)=⟨A^02⟩{displaystyle sigma ^{2}(A)=leftlangle {hat {A}}_{0}^{2}rightrangle } e σ2(B)=⟨B^02⟩{displaystyle sigma ^{2}(B)=leftlangle {hat {B}}_{0}^{2}rightrangle }. Il prodotto delle varianze può essere riscritto come:

σ2(A)⋅σ2(B)=⟨A^02⟩⟨B^02⟩≥|⟨A^0B^0⟩|2{displaystyle sigma ^{2}(A)cdot sigma ^{2}(B)=leftlangle {hat {A}}_{0}^{2}rightrangle leftlangle {hat {B}}_{0}^{2}rightrangle geq left|leftlangle {hat {A}}_{0}{hat {B}}_{0}rightrangle right|^{2}}

ovvero la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Per procedere riscriviamo A^0B^0{displaystyle {hat {A}}_{0}{hat {B}}_{0}} in funzione del commutatore e dell'anticommutatore

A^0B^0=12[A^0,B^0]+12{A^0,B^0}{displaystyle {hat {A}}_{0}{hat {B}}_{0}={frac {1}{2}}left[{hat {A}}_{0},{hat {B}}_{0}right]+{frac {1}{2}}left{{hat {A}}_{0},{hat {B}}_{0}right}}

e notiamo che [A^0,B^0]=[A^,B^]{displaystyle left[{hat {A}}_{0},{hat {B}}_{0}right]=left[{hat {A}},{hat {B}},right]} dato che le traslazioni non influenzano i commutatori.

Supponendo di poter scrivere [A^,B^]=iC^{displaystyle left[{hat {A}},{hat {B}},right]=i{hat {C}}} (questo è vero, ad esempio, per tutte le coppie di grandezze coniugate, per le quali C^=ℏ{displaystyle {hat {C}}=hbar }), otteniamo

σ2(A)⋅σ2(B)=(σA⋅σB)2≥|⟨i2C^+12{A^0,B^0}⟩|2≥14|⟨C^⟩|2{displaystyle sigma ^{2}(A)cdot sigma ^{2}(B)=left(,sigma _{A}cdot sigma _{B},right)^{2}geq left|leftlangle {frac {i}{2}}{hat {C}}+{frac {1}{2}}left{{hat {A}}_{0},{hat {B}}_{0}right}rightrangle right|^{2}geq {frac {1}{4}},{left|leftlangle {hat {C}}rightrangle right|^{2}}}

ovvero

σA⋅σB≥12|⟨[A^,B^]⟩|{displaystyle sigma _{A}cdot sigma _{B}geq {frac {1}{2}},left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle right|}

che è il principio di indeterminazione nella sua forma più generale.

Nel caso particolare dell'indeterminazione fra posizione e momento, dato che [x^,p^x]=iℏ,{displaystyle left[{hat {x}},{hat {p}}_{x}right]=ihbar ,} si ottiene σx⋅σp≥ℏ2{displaystyle sigma _{x}cdot sigma _{p}geq {frac {hbar }{2}}}.

Disuguaglianza di Schrödinger |

L'incertezza della misura dovuta all'indeterminazione quantistica è radicalmente diversa dalla correlazione statistica.La disuguaglianza di Robertson implica infatti tra le grandezze osservabili A{displaystyle A} e B{displaystyle B} covarianza σAB{displaystyle sigma _{AB}} e correlazione ρAB{displaystyle rho _{AB}} nulle.

La covarianza statistica tra A{displaystyle A} e B{displaystyle B} - esprimibile come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto E[AB]{displaystyle mathbb {E} [AB]} e il prodotto dei loro valori attesi E[A]E[B]{displaystyle mathbb {E} [A]mathbb {E} [B]} - viene in molti casi rappresentata mediante l'Indice di correlazione di Pearson ρAB=σAB/σA⋅σB{displaystyle rho _{AB}=sigma _{AB},/,sigma _{A}cdot sigma _{B}}:

Cov(A,B)≡σAB=E[AB]−E[A]⋅E[B]=ρAB⋅σA⋅σB{displaystyle mathrm {Cov} (A,B)equiv sigma _{AB}=mathbb {E} [AB]-mathbb {E} [A]cdot mathbb {E} [B]=rho _{AB}cdot sigma _{A}cdot sigma _{B}}.

Si distinguono tre possibili casi di correlazione:

1. Se  ρAB=0{displaystyle rho _{AB}=0}, le variabili A{displaystyle A} e B{displaystyle B} si dicono incorrelate;


2. Se  ρAB>0{displaystyle rho _{AB}>0}, le variabili A{displaystyle A} e B{displaystyle B} si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;


3. Se  ρAB<0{displaystyle rho _{AB}<0}, le variabili A{displaystyle A} e B{displaystyle B} si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.

Stati quantici con correlazione non nulla sono ad esempio gli stati coerenti e quelli strizzati (squeezed).

Se si ha una correlazione quantistica (⟨F^⟩≠0){displaystyle left(leftlangle {widehat {F}}rightrangle neq 0right)} tra gli operatori A{displaystyle A} e B{displaystyle B}:

⟨F^⟩=⟨A^B^+B^A^⟩−2⟨A^⟩⟨B^⟩=⟨{A^,B^}⟩−2⟨A^⟩⟨B^⟩≠0{displaystyle leftlangle ,{widehat {F}},rightrangle ,=,leftlangle ,{widehat {A}}{widehat {B}},+,{widehat {B}}{widehat {A}},rightrangle -,2leftlangle ,{widehat {A}},rightrangle leftlangle ,{widehat {B}},rightrangle ,=,leftlangle left{{widehat {A}},{widehat {B}},right}rightrangle -,2leftlangle ,{widehat {A}},rightrangle leftlangle ,{widehat {B}},rightrangle ,neq ,0}

con

F^=A^B^+B^A^−2⟨A^⟩⟨B^⟩={A^,B^}−2⟨A^⟩⟨B^⟩{displaystyle {widehat {F}},=,{widehat {A}}{widehat {B}},+,{widehat {B}}{widehat {A}}-,2leftlangle ,{widehat {A}},rightrangle leftlangle ,{widehat {B}},rightrangle ,=,left{{widehat {A}},{widehat {B}},right}-,2leftlangle ,{widehat {A}},rightrangle leftlangle ,{widehat {B}},rightrangle }

dove {A^,B^}≡A^B^+B^A^{displaystyle left{{widehat {A}},{widehat {B}},right}equiv {widehat {A}}{widehat {B}},+,{widehat {B}}{widehat {A}}}
denota l'anti-commutatore tra due operatori, si ottiene una disuguaglianza, introdotta da Erwin Schrödinger^[25] nel 1930, diversa da quella di Robertson:

σA⋅σB⩾12|⟨[A^,B^]⟩|2+|⟨F^⟩|2{displaystyle sigma _{A}cdot sigma _{B};geqslant ;{1 over 2};{sqrt {;left|leftlangle [{widehat {A}},{widehat {B}},]rightrangle right|^{2},+,left|,leftlangle {widehat {F}}rightrangle ,right|^{2}}}}

È immediato verificare che, se la correlazione quantistica è assente (⟨F^⟩=0){displaystyle left(leftlangle {widehat {F}}rightrangle =0right)}, la disuguaglianza di Schrödinger si riduce a quella di Robertson:

σA⋅σB≥12|⟨[A^,B^]⟩|{displaystyle sigma _{A}cdot sigma _{B}geq {frac {1}{2}},left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}}right]rightrangle right|}.

La disuguaglianza di Schrödinger mostra inoltre che l'indeterminazione intrinseca (disuguaglianza di Robertson) e il termine legato alla correlazione quantistica

σA⋅σB⩾12|⟨F^⟩|{displaystyle sigma _{A}cdot sigma _{B};geqslant ;{1 over 2};left|leftlangle {widehat {F}}rightrangle right|}

sono indipendenti, e contribuiscono in quadratura al prodotto delle due deviazioni standard σA⋅σB{displaystyle sigma _{A}cdot sigma _{B}}.

Indeterminazione operazionale e intrinseca |

La condizione di validità della disuguaglianza di Robertson:

⟨ψ|[A^,B^]|ψ⟩≠0{displaystyle leftlangle psi left|,left[{hat {A}},{hat {B}},right],right|psi rightrangle neq 0}

non coincide quindi con quella per la validità della disuguaglianza di Heisenberg:

[A^,B^]≠0{displaystyle left[{hat {A}},{hat {B}},right]neq 0}.

Ciò dipende dal fatto che le due disuguaglianze, in apparenza molto simili, sono in effetti profondamente differenti. Mentre Heisenberg si applica nel caso di misure successive (con incertezze ΔA{displaystyle Delta A} e ΔB{displaystyle Delta B}) delle osservabili A{displaystyle A} e B{displaystyle B} sullo stesso sistema (indeterminazione operazionale), la disuguaglianza di Robertson fa riferimento alla distribuzione dei valori (con deviazioni standard σA{displaystyle sigma _{A}} e σB{displaystyle sigma _{B}}) delle osservabili A{displaystyle A} e B{displaystyle B} in un insieme statistico di sistemi quantistici identici (indeterminazione intrinseca).

Entrambi i tipi d'indeterminazione furono introdotti da Heisenberg^[5] nel suo articolo del 1927 (rispettivamente, nel primo e nel secondo paragrafo) ma, a causa di un errore interpretativo, Heisenberg assunse si trattasse della medesima indeterminazione. La differenza tra i due casi:^[26]
I1){displaystyle I_{1})} interazione-disturbo, che si riferisce all'impossibilità sperimentale (operazionale) di specificare con precisione arbitraria i valori di due variabili incompatibili (come x{displaystyle x} e px{displaystyle p_{x}}) effettuando misure successive su un singolo sistema fisico;
I2){displaystyle I_{2})} statistico o di dispersione, per cui il prodotto delle deviazioni standard di due osservabili incompatibili ha un limite inferiore (intrinseco) dato da ℏ/2{displaystyle hbar /2}

fu compresa da Karl Popper^[27] solo molto dopo, verso la metà degli anni '30 del Novecento.

Mentre I1{displaystyle I_{1}} si riferisce a misure successive di variabili incompatibili effettuate sullo stesso sistema fisico, I2{displaystyle I_{2}} - che trova la sua espressione matematica compiuta nelle disuguaglianze introdotte da Kennard^[21] nel 1927, da Robertson^[23] nel 1929 e da Schrödinger^[25] nel 1930 - si riferisce invece alla dispersione dei risultati di misure di due osservabili incompatibili, effettuate su campioni diversi di sistemi quantistici tutti preparati in modo identico.
Si tratta quindi, come ebbe a dire de Broglie^[28] nel 1969, di relazioni d'incertezza pre-misura (I2){displaystyle (I_{2})} e post-misura (I1){displaystyle (I_{1})}.

Relazioni d'indeterminazione universali |

Le disuguaglianze di Kennard, di Robertson e di Schrödinger riguardano l'indeterminazione intrinseca di osservabili quantistiche, quantificata dalla deviazione standard σ{displaystyle sigma }. L'indeterminazione di Heisenberg riguardava invece un errore sistematico: il disturbo prodotto sul sistema quantistico dall'atto di misurazione mediante un apparato classico (indeterminazione operazionale).

Si definiscono relazioni d'indeterminazione universali quelle che danno conto contemporaneamente sia dell'indeterminazione operazionale di Heisenberg:

ϵA⋅ηB≥12|⟨[A^,B^]⟩|{displaystyle epsilon _{A}cdot eta _{B},geq ,{frac {1}{2}},left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle right|}

sia di quella intrinseca di Robertson:

σA⋅σB≥12|⟨[A^,B^]⟩|{displaystyle sigma _{A}cdot sigma _{B},geq ,{frac {1}{2}},left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle right|}.

Disuguaglianza di Ozawa |

Nel 2003 Masanao Ozawa^[29] ha proposto una disuguaglianza universale, che include sia l'indeterminazione intrinseca sia quella operazionale:

ϵA⋅ηB+ϵA⋅σB+σA⋅ηB≥12|⟨[A^,B^]⟩|{displaystyle epsilon _{A}cdot eta _{B}+epsilon _{A}cdot sigma _{B}+sigma _{A}cdot eta _{B},geq ,{frac {1}{2}},left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle right|}

Col tempo, si sono accumulate crescenti evidenze sperimentali
^{[30][31][32][33]}
del fatto che l'indeterminazione quantica complessiva di un sistema non può essere spiegata solo dal termine operazionale di Heisenberg, ma richiede la compresenza di tutti e tre gli addendi della disuguaglianza di Ozawa.

Disuguaglianza di Fujikawa |

Nel 2012 Kazou Fujikawa^[34] ha suggerito un'altra relazione d'indeterminazione universale che, come quella di Ozawa, combina sia l'indeterminazione intrinseca sia quella operazionale, ma è espressa in una forma assai simile a quella originale di Heisenberg. Sommando la disuguaglianza di Robertson con quella di Ozawa, Fujikawa ha ottenuto:

ϵA⋅ηB+ϵA⋅σB+σA⋅ηB+σA⋅σB≥|⟨[A^,B^]⟩|{displaystyle epsilon _{A}cdot eta _{B},+,epsilon _{A}cdot sigma _{B},+,sigma _{A}cdot eta _{B},+,sigma _{A}cdot sigma _{B},geq ,left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle right|}.

I quattro addendi possono essere riscritti come

(ϵA+σA)⋅(ηB+σB)≥|⟨[A^,B^]⟩|{displaystyle (epsilon _{A}+sigma _{A})cdot (eta _{B}+sigma _{B}),geq ,left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle right|}.

Definendo:

ϵ¯A≡(ϵA+σA){displaystyle {bar {epsilon }}_{A},equiv ,(epsilon _{A}+sigma _{A})}

come l'inaccuratezza nella misura del valore dell'osservabile A{displaystyle A} e

η¯B≡(ηB+σB){displaystyle {bar {eta }}_{B},equiv ,(eta _{B}+sigma _{B})}

come la fluttuazione risultante nella misura dell'osservabile incompatibile B{displaystyle B}, Fujikawa ha ottenuto una relazione formalmente simile a quella di Heisenberg, valida sia per l'indeterminazione operazionale, sia per quella intrinseca:

ϵ¯A⋅η¯B≥|⟨[A^,B^]⟩|{displaystyle {bar {epsilon }}_{A}cdot {bar {eta }}_{B},geq ,left|leftlangle left[{hat {A}},{hat {B}},right]rightrangle right|}.

Relazioni d'indeterminazione energia/tempo |

L'indeterminazione energia/tempo è strutturalmente differente dalle altre. Questa caratteristica non fu immediatamente compresa: nell'articolo^[5] del 1927, Heisenberg introdusse tre relazioni d'indeterminazione (posizione x{displaystyle x} / momento px{displaystyle p_{x}} - tempo t{displaystyle t} / energia E{displaystyle E} - angolo θ{displaystyle theta } / azione A{displaystyle A}) ritenendole sostanzialmente equivalenti, perché tutte basate sul commutatore canonico

[x^,p^x]=[t^,H^]=[θ^,A^]=iℏ{displaystyle left[{hat {x}},,{hat {p}}_{x}right]=left[{hat {t}},,{hat {H}}right]=left[{hat {theta }},,{hat {A}},right]=i,hbar }

dove H^{displaystyle {hat {H}}} è l'operatore hamiltoniano, associato all'energia totale del sistema quantistico.

Ma, mentre x{displaystyle x} e px{displaystyle p_{x}} sono variabili continue, in meccanica quantistica l'azione risulta spesso discreta, in quanto soggetta alla condizione di quantizzazione di Wilson-Sommerfeld A=nh{displaystyle A=n,h}. L'indeterminazione azione/angolo non è quindi equivalente a quella posizione/momento. Per una trattazione più approfondita su questo argomento si veda ^[35].

Lo stesso avviene - per ragioni diverse - anche per l'indeterminazione energia/tempo. In meccanica quantistica non relativistica, come in meccanica classica, il tempo t{displaystyle t} svolge un ruolo privilegiato: è il parametro d'evoluzione delle grandezze fisiche, non una grandezza fisica esso stesso. Non è quindi possibile associarvi alcun operatore autoaggiunto t^{displaystyle {hat {t}}}, che caratterizzarebbe un'osservabile quantica. Di conseguenza, non esiste il commutatore

[t^,H^]=iℏ{displaystyle {cancel {left[{hat {t}},,{hat {H}}right]=i,hbar }}}

e non è quindi possibile esprimere l'indeterminazione temporale intrinseca mediante la disuguaglianza di Robertson

σE⋅σt≥12|⟨[t^,H^]⟩|{displaystyle {cancel {sigma _{E}cdot sigma _{t}geq {frac {1}{2}},left|leftlangle left[{hat {t}},{hat {H}}right]rightrangle right|}}}.

Nel 1933 W. Pauli ha dimostrato^[36] che, se per assurdo esistesse l'operatore autoaggiunto t^{displaystyle {hat {t}}}, si potrebbe estrarre una quantità infinita d'energia da un sistema quantistico con energia finita E{displaystyle E}, associata all'operatore hamiltoniano H^{displaystyle {hat {H}}}.

Anche l'indeterminazione energia/tempo si manifesta in due forme diverse: come indeterminazione operazionale (in caso di misura del sistema) o intrinseca
(evoluzione spontanea del sistema).

Indeterminazione temporale operazionale |

Secondo l'interpretazione più comune (ma non sempre corretta) dell'indeterminazione energia/tempo operazionale, nella disuguaglianza

ΔE⋅Δt≥ℏ2{displaystyle Delta Ecdot Delta t,geq ,{frac {hbar }{2}}}

Δt{displaystyle Delta t} rappresenta il minimo intervallo temporale necessario per effettuare la misura dell'energia E{displaystyle E} del sistema con precisione ΔE{displaystyle Delta E}. Ciò è vero se non si conosce la forma analitica dell'operatore hamiltoniano H^{displaystyle {hat {H}}} del sistema. Se invece l'hamiltoniano è noto, l'energia E{displaystyle E} di un sistema si può misurare, in un intervallo temporale Δt{displaystyle Delta t} arbitrariamente breve, con precisione arbitraria.^[37]

«Aharonov e Bohm[38] hanno mostrato che il tempo nella relazione d'indeterminazione è l'intervallo temporale in cui il sistema resta imperturbato, non il tempo durante il quale l'apparato sperimentale è acceso. La meccanica quantistica odierna stabilisce che tutte le osservabili possano essere misurate con accuratezza arbitrariamente buona in un tempo (esterno) arbitrariamente breve, e l'energia non costituisce eccezione.[39]»

(Debashis Sen,[40] 2014)

Se invece si considera Δt{displaystyle Delta t} come la durata di una perturbazione energetica esterna, ΔE{displaystyle Delta E} risulta essere la differenza tra due valori esatti (E2−E1){displaystyle left(E_{2}-E_{1}right)} dell'energia del sistema, misurati nell'intervallo Δt=t2−t1{displaystyle Delta t=t_{2}-t_{1}}.
Quanto appena enunciato risulta valido in una teoria perturbativa al prim'ordine.^[41]

Indeterminazione temporale intrinseca |

«Si dice spesso che il principio d'indeterminazione significa che in meccanica quantistica l'energia non è esattamente conservata - vi è permesso di ''prendere in prestito'' un'energia ΔE{displaystyle Delta E}, purché la ''restituiate'' in un tempo Δt≃ℏ/(2ΔE){displaystyle Delta tsimeq hbar /(2Delta E)}; quanto più grande è la violazione, tanto più breve sarà la sua durata. Ora è vero che ci sono molte interpretazioni più o meno legittime del principio d'indeterminazione energia-tempo, ma questa non è una di esse. In nessun punto la meccanica quantistica autorizza la violazione della conservazione dell'energia e certamente una tale licenza non rientra affatto nella derivazione dell'equazione ΔEΔt≥ℏ/2{displaystyle Delta E;Delta tgeq hbar /2}. Ma il principio di indeterminazione è straordinariamente solido: può essere usato anche in modo scorretto senza dare luogo a risultati gravemente sbagliati; di conseguenza i fisici hanno preso l'abitudine di applicarlo con noncuranza eccessiva.»

(David J. Griffiths,[42] 2005)

I sistemi quantistici che non siano in un'autostato dell'Hamiltoniana H{displaystyle H} presentano, oltre ad un'eventuale indeterminazione di tipo operazionale, un'indeterminazione energia/tempo intrinseca, che risulta ineliminabile.

Siccome non esiste il commutatore

[t^,H^]=iℏ{displaystyle {cancel {left[{hat {t}},,{hat {H}}right]=i,hbar }}},

non è possibile esprimere l'indeterminazione temporale intrinseca mediante la disuguaglianza di Robertson

σE⋅σt≥12|⟨[t^,H^]⟩|{displaystyle {cancel {sigma _{E}cdot sigma _{t}geq {frac {1}{2}},left|leftlangle left[{hat {t}},{hat {H}}right]rightrangle right|}}}.

Tuttavia l'analisi di Fourier,^{[Nota 15][43]} unitamente al dualismo onda/particella espresso dalla relazione

E=hν{displaystyle E=h,nu },

permettono di formulare l'indeterminazione energia/tempo intrinseca:

σE⋅σt≥ℏ2{displaystyle sigma _{E}cdot sigma _{t}geq {frac {hbar }{2}}}.

Resta da capire cosa sia in questo caso σt{displaystyle sigma _{t}}. Sicuramente non è la deviazione standard di un insieme di misure del tempo
(che si riferirebbero eventualmente ad un'indeterminazione operazionale). Si tratta, approssimativamente, dell'intervallo temporale necessario - che indichiamo con δt{displaystyle delta t} - per avere un cambiamento significativo del sistema quantistico. Riscriviamo quindi l'equazione precedente nella forma

σE⋅δt≥ℏ2{displaystyle sigma _{E}cdot delta t,geq ,{frac {hbar }{2}}}.

• Leonid Mandelstam e Igor Tamm hanno trovato^[44] nel 1945 un modo per esprimere δt{displaystyle delta t}.

Sia Q(x,p,t){displaystyle Q(x,p,t)} un'osservabile arbitraria. Il calcolo della derivata temporale del valore d'aspettazione ⟨Q⟩{displaystyle langle Qrangle } porta a concludere che, se vale la disuguaglianza precedente, allora

σQ=|d⟨Q⟩dt|δt{displaystyle sigma _{Q},=,left|{frac {dlangle Qrangle }{dt}}right|;delta t}

dove δt{displaystyle delta t} è l'intervallo di tempo necessario perché il valore d'aspettazione di Q{displaystyle Q} possa variare di una deviazione standard σQ{displaystyle sigma _{Q}}. Chiaramente la durata di δt{displaystyle delta t} dipende criticamente dalla scelta dell'osservabile Q{displaystyle Q} che si considera: il cambiamento potrebbe essere rapido per una e lento per un'altra. Ma se σE{displaystyle sigma _{E}} è piccolo, allora tutte le osservabili devono cambiare in modo molto graduale, viceversa se una qualunque delle osservabili cambia rapidamente, deve essere grande l'indeterminazione σE{displaystyle sigma _{E}} dell'energia.^[45]

• Lev Vaidman ha proposto^[46] nel 1992 un'interpretazione alternativa di δt{displaystyle delta t}, che risulta ora essere

δt=Δtπ{displaystyle delta t={frac {Delta t}{pi }}}

dove Δt{displaystyle Delta t} è il minimo intervallo di tempo necessario perché un sistema con deviazione standard σE{displaystyle sigma _{E}} in energia possa evolvere dallo stato iniziale |ψi⟩{displaystyle |,psi _{i},rangle } ad uno stato |ψ⊥⟩{displaystyle |,psi _{perp }rangle } ortogonale al primo:

⟨ψi|ψ⊥⟩=0{displaystyle langle ,psi _{i},|,psi _{perp }rangle ,=,0}.

Lo stato ortogonale può rappresentare un decadimento (con variazione d'energia Ei→E⊥{displaystyle E_{i}to E_{perp }}), oppure semplicemente un'evoluzione del sistema che conservi l'energia iniziale Ei{displaystyle E_{i}}.

Verifiche sperimentali |

La disuguaglianza di Kennard, relativa alla preparazione di un sistema quantistico, è stata oggetto di verifica sperimentale a partire dalla fine degli anni '60 del secolo scorso mediante esperimenti di diffrazione o interferenza.^[47] L'ampiezza della singola fenditura (diffrazione) o la distanza tra le due fenditure (interferenza) sono state assunte come misure dell'incertezza posizionale σx{displaystyle sigma _{x}}. L'indeterminazione sul momento σpx{displaystyle sigma _{p_{x}}} veniva stimata a partire dalla distribuzione delle particelle rivelate sullo schermo di fondo, derivando dalla distribuzione osservata la deviazione standard σpx{displaystyle sigma _{p_{x}}}.

Nel 1969 C. Shull realizzò il primo esperimento di diffrazione neutronica per la verifica dell'indeterminazione di Kennard.^[48] Solo negli anni '80 del Novecento furono fatte misure d'interferometria neutronica.^[49][50] Nel 2002 venne pubblicata^[51] una verifica della relazione di Kennard misurando l'aumento dello sparpagliamento in momento σpx{displaystyle sigma _{p_{x}}} di molecole di fullerene C70{displaystyle _{70}} dopo l'attraversamento di una fenditura d'ampiezza variabile.

Le prime verifiche della relazione d'indeterminazione operazionale (errore/disturbo) risalgono al 2012.^[47] Tali esperimenti si basano sulla derivazione indiretta del disturbo indotto su componenti dello spin di neutroni^[30] oppure su misure deboli (weak) d'ottica quantistica^[31][32][33] per riuscire a caratterizzare direttamente il disturbo provocato su un sistema dall'interazione con un apparato di misura. Tutti questi esperimenti hanno confermato che la sola disuguaglianza di Heisenberg non è sufficiente a giustificare i risultati, e bisogna ricorrere a quella di Ozawa per ottenere un accordo tra previsione teorica e dati sperimentali.

Un sistema che non sia in un autostato dell'energia può decadere da un livello eccitato E2{displaystyle E_{2}} ad un livello energetico più basso E1{displaystyle E_{1}}. Detta τ{displaystyle tau } la sua vita media, esso ha frequenza di transizione E2→E1{displaystyle E_{2}to E_{1}} (con E2>E1{displaystyle E_{2}>E_{1}}) per decadimento spontaneo pari a λ=1/τ{displaystyle lambda ,=,1/tau } e quindi λ⋅dt{displaystyle lambda cdot dt} è la probabilità che, nell'intervallo temporale dt{displaystyle dt}, cambi l'energia del sistema.
La probabilità che, dopo un tempo t{displaystyle t}, il sistema sia ancora caratterizzato dal valore E2{displaystyle E_{2}} dell'energia è data da

P(t)=e−λt=e−t/τ=e−Γt/ℏ{displaystyle {cal {P}}(t),=,e^{-lambda ,t},=,e^{-t/tau },=,e^{-Gamma ,t/hbar }}

dove Γ{displaystyle Gamma } è l'ampiezza a metà altezza (FWHM) della distribuzione di Lorentz in energia del sistema.

Per sistemi instabili la verifica dell'indeterminazione energia/tempo intrinseca si traduce quindi in quella della relazione

Γ⋅τ=ℏ{displaystyle Gamma cdot tau ,=,hbar }.

Misurando l'energia per un insieme statistico di sistemi identici si ottiene sperimentalmente la distribuzione lorentziana,
e da questa si ricava la relativa FWHM. D'altra parte, il decadimento esponenziale di un insieme statistico di sistemi identici può essere ricostruito contandone i decadimenti per un lungo periodo, ricavando la curva esponenziale e da questa la vita media τ{displaystyle tau } come tangente alla curva nell'origine. Disponendo dei valori sperimentali di Γ{displaystyle Gamma } e τ{displaystyle tau } è immediato calcolare che il loro prodotto sia uguale a ℏ{displaystyle hbar }. Con questo metodo è stata verificata la relazione d'indeterminazione energia/tempo intrinseca per numerosi decadimenti atomici, nucleari, di mesoni e barioni.

Dibattito Bohr-Einstein |

Secondo la diffusa (ma non universalmente accettata) interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica, un sistema fisico microscopico non possiede proprietà oggettive (anti-realismo) prima che queste siano misurate mediante un apparato di misura.^{[Nota 17]}
La meccanica quantistica fornirebbe a priori solo un insieme di probabilità attribuibili al possibile esito di una misura (probabilismo ontologico^{[Nota 18]}). Ad esempio, la distribuzione di probabilità (figura d'interferenza) prodotta da molti elettroni che passano attraverso una doppia fenditura può essere calcolata usando la meccanica quantistica. Ma, secondo l'interpretazione di Copenaghen, il percorso esatto di un singolo elettrone tra le fenditure e lo schermo non può essere né predetto dalla meccanica quantistica,^{[Nota 19][52]}
né determinato sperimentalmente.^{[Nota 20][53]}Albert Einstein era convinto che tale interpretazione fosse errata, e che a tutte le distribuzioni di probabilità calcolabili mediante la meccanica quantistica dovessero corrispondere eventi deterministici soggiacenti, conoscibili mediante una teoria più completa della meccanica quantistica.

Proprio riferendosi al probabilismo intrinseco all'interpretazione di Copenaghen Einstein affermò, in una lettera a Bohr del 4 dicembre 1926, «Dio non gioca a dadi con l'Universo».^[54] Pare che Niels Bohr, principale autore di tale interpretazione, abbia risposto ad Einstein: «Smettila di dire a Dio cosa fare con i suoi dadi».^[54]
Nel 1996 Stephen Hawking commentò la famosa battuta di Einstein alla luce delle conoscenze astrofisiche sulla struttura dell'universo: «Einstein [...] sbagliò quando disse: «Dio non gioca a dadi». La considerazione dei buchi neri suggerisce infatti non solo che Dio gioca a dadi, ma che a volte ci confonda gettandoli dove non li si può vedere».^[55]

La posizione realista ("esiste una realtà fisica indipendente dal soggetto che la studia") e deterministica ("le grandezze fisiche hanno sempre valori determinati da un'adeguata teoria fisica") di Albert Einstein lo rese critico anche nei confronti dell'indeterminismo quantistico.
Nel corso del quinto congresso Solvay, tenutosi a Bruxelles nel 1927, Einstein propose vari esperimenti mentali basati su fenomeni di diffrazione di una particella mediante una fenditura singola, o d'interferenza prodotta da molte particelle che attraversano una doppia fenditura. L'intenzione di Einstein era sempre quella di provare - in linea di principio - la possibilità di misurare coppie di variabili coniugate (posizione/momento o energia/tempo) meglio di quanto previsto dal limite dell'indeterminazione di Heisenberg. Bohr riuscì a controbattere efficacemente, mostrando che gli esperimenti citati implicavano una variazione inevitabile (disturbo) della variabile coniugata associata a quella misurata, tale che il prodotto dell'errore di misura dell'una col disturbo dell'altra risultava superiore al limite h previsto da Heisenberg.^[56]

Einstein sfidò nuovamente Bohr nel corso del sesto congresso Solvay, tenutosi a Parigi nel 1930, proponendo il seguente esperimento mentale: riempiamo una scatola con del materiale radioattivo e agganciamola verticalmente ad una bilancia di precisione a molla. La scatola ha uno sportello, che viene aperto e immediatamente chiuso, permettendo così a un po' di radiazione di uscire. Il meccanismo è azionato da un orologio interno alla scatola, che misura il preciso istante in cui si è aperto e richiuso lo sportello. In questo modo il tempo è noto con precisione. Vogliamo ora misurare con precisione anche la variabile coniugata (l'energia): pesiamo la scatola prima e dopo l'emissione di radiazione, semplicemente leggendo l'indice della bilancia su cui è appesa la scatola. L'equivalenza tra massa ed energia, derivante dalla relatività speciale, ci permetterà di determinare precisamente quanta energia ha lasciato la scatola.
Aggirando in questo modo il limite imposto dalla relazione d'indeterminazione energia/tempo.

Bohr ribatté ad Einstein che egli non aveva tenuto conto di un effetto previsto proprio dalla relatività generale di Einstein:
se l'energia esce, la scatola è più leggera e si solleverà leggermente sulla bilancia a molla che deve sorreggere la scatola per poterne misurare la variazione di massa. Questo cambierà la posizione dell'orologio nel campo gravitazionale terrestre. Di conseguenza la sua misurazione del tempo sarà diversa rispetto alla posizione precedente, portando a un inevitabile errore nella determinazione dell'intervallo temporale. L'analisi dettagliata del fenomeno, svolta da Bohr, mostra che l'imprecisione della misura è correttamente prevista dalla relazione d'indeterminazione energia/tempo di Heisenberg.^[57]

Rilevanza epistemologica |

«Se si accetta che l'interpretazione della meccanica quantistica qui proposta sia corretta già in alcuni punti essenziali, allora dovrebbe essere permesso di affrontare in poche parole le conseguenze di principio. [...] nella formulazione netta del principio di causalità: "se conosciamo in modo preciso il presente, possiamo prevedere il futuro", non è falsa la conclusione, bensì la premessa. In linea di principio noi non possiamo conoscere il presente in tutti i suoi dettagli. [...] siccome tutti gli esperimenti sono soggetti alle leggi della meccanica quantistica e quindi all'equazione Δx⋅Δpx∼h{displaystyle Delta xcdot Delta p_{x},sim ,h}, mediante la meccanica quantistica viene stabilita definitivamente la non validità del principio di causalità.[Nota 21][58][59][60][61]»

(Werner Karl Heisenberg,[5] 1927)

«Anche se esiste un corpo di leggi matematiche "esatte", queste non esprimono relazioni tra oggetti esistenti nello spazio-tempo; è vero che approssimativamente si può parlare di "onde" e "corpuscoli", ma le due descrizioni hanno la stessa validità. Per converso, la descrizione cinematica di un fenomeno necessita dell'osservazione diretta; ma poiché osservare significa interagire, ciò preclude la validità rigorosa del principio di causalità.[Nota 21][58][59][60][61]»

(Werner Karl Heisenberg,[62] 1930)

Le due citazioni mettono in evidenza la consapevolezza di Heisenberg d'aver dato un contributo fondamentale non solo alla fisica, ma anche alla epistemologia e alla filosofia della scienza del XX secolo. Il principio d'indeterminazione segna la fine della descrizione della realtà fisica
in accordo col determinismo meccanicista^[63] (che implica sia il determinismo sia la predicibilità), espressa in modo quasi analogo da Ruggero Giuseppe Boscovich (che scriveva della descrizione dinamica di un insieme di punti materiali) e da Pierre Simon Laplace nel contesto della fisica classica:

«Anche se un tal problema sorpassa il potere dell'intelletto umano, qualsiasi matematico può vedere che il problema è ben definito [...] e che una mente che avesse le capacità necessarie per trattare tale problema in forma appropriata e fosse abbastanza brillante da percepirne le soluzioni [...] tale mente, dico, a partire da un arco continuo descritto in un intervallo di tempo, non importa quanto piccolo, da tutti i punti della materia, potrebbe derivare le leggi della forza [...] Se la legge delle forze fosse conosciuta, così come la posizione, velocità e direzione di tutti i punti in un dato istante, sarebbe possibile per una tale mente prevedere tutti i movimenti successivi che dovranno necessariamente avvenire, e predire tutti i fenomeni che necessariamente seguono da essi.»

(Ruggero Giuseppe Boscovich,[64] 1763)

«Dovremmo considerare lo stato presente dell'universo come l'effetto del suo stato antecedente e la causa del suo stato successivo. Un'intelligenza che conoscesse tutte le forze operanti in natura in un dato istante e le posizioni istantanee di tutti gli oggetti dell'universo, sarebbe in grado di comprendere in un'unica formula i moti dei più grandi corpi e quelli dei più leggeri atomi del mondo, a condizione che il suo intelletto fosse sufficientemente potente da sottoporre ad analisi tutti i dati: per tale intelligenza niente sarebbe incerto, il futuro e il passato sarebbero entrambi presenti ai suoi occhi.»

(Pierre Simon Laplace,[65] 1812)

Il termine determinismo fu tuttavia coniato solo nel 1865 dal fisiologo Claude Bernard. Secondo l'approccio determinista, ad uno stato fisico presente completamente definito corrisponde un unico stato futuro ad esso compatibile, altrettanto definito; a due stati presenti molto simili corrispondono due stati futuri molto simili.^[66]

Si ha predicibilità qualora sia sempre possibile predire l'evoluzione dei sistemi fisici a partire dalla conoscenza delle condizioni del sistema ad un dato istante to{displaystyle t_{o}} e delle leggi che ne determinano in modo univoco la dinamica. L'esempio tipico è dato dalla seconda legge di Newton:

F→=ma→{displaystyle {vec {F}}=m,{vec {a}}}.

Dalla conoscenza della forza F→{displaystyle {vec {F}}} agente sul corpo, della massa m{displaystyle m} e delle condizioni iniziali (xo{displaystyle x_{o}}, vo{displaystyle v_{o}}) è possibile ricavare la traiettoria, ovvero determinare l'insieme continuo dei punti dello spazio in cui il corpo si è trovato in passato

(t<to{displaystyle t<t_{o}}), o si troverà in futuro (t>to{displaystyle t>t_{o}}). Il determinismo non implica necessariamente la predicibilità (anche se non la esclude).^[58] Si parla di determinismo meccanicista^[63] nel caso in cui si assuma che valgano sia il determinismo, sia la predicibilità.

L'affermarsi della fisica statistica nella seconda metà del XIX secolo diffuse l'uso di metodi statistici, e la consapevolezza che di alcune osservabili si possano di fatto conoscere solo il valor medio e la deviazione standard, ma non un valore univoco ("esatto" entro i limiti di precisione degli strumenti usati nella misura). Tuttavia le probabilità utilizzate in meccanica statistica dipendono in linea di principio solo dalla limitata conoscenza che possiamo ottenere sperimentalmente del fenomeno fisico indagato [sistemi (gas) a molti corpi (molecole del gas)]. Per questo motivo tali probabilità si definiscono epistemiche.
L'ipotetica "mente di Boscovich" o "intelligenza di Laplace" sopra citate non avrebbero bisogno di metodi statistici: potrebbero seguire una ad una le molecole del gas, e per ciascuna calcolarne la traiettoria usando la II legge di Newton. Anche se si parla, in questo caso, d'indeterminismo statistico,^[63] l’indeterminazione emerge a livello macroscopico, mentre non è presente a livello microscopico o nel formalismo matematico dei processi d'urto a livello molecolare. La meccanica statistica ricade quindi ancora nella definizione di determinismo meccanicista,^[63] che combina determinismo e predicibilità:

«Solo l’impossibilità pratica: 1° di determinare esattamente le condizioni iniziali delle molecole; 2° di seguire col calcolo i fatti molecolari singoli, ci ha indotti a contentarci di “leggi medie” (senza provarne dispiacere, perché esse rappresentano proprio ciò che possiamo realmente osservare coi nostri sensi grossolani, e perché tali leggi hanno ancora una precisione tale da renderci capaci di fare previsioni sufficientemente sicure). Dunque: si continuava a immaginare i fenomeni determinati per via strettamente causale nell’ambito degli atomi e delle molecole prese singolarmente. Ciò costituiva in certo qual modo lo sfondo o base delle leggi statistiche di massa, le uniche, in realtà, accessibili all’esperienza. La massima parte dei fisici riteneva indispensabile, per il mondo fisico, una base strettamente deterministica. Essi erano convinti che il contrario non fosse nemmeno “pensabile”; ammettevano senz’altro che, almeno nel processo elementare, per esempio nell’urto di due atomi, il “risultato finale” fosse contenuto implicitamente, con precisione e piena sicurezza, nelle condizioni iniziali. Si disse e si dice talvolta ancor oggi che una scienza naturale esatta non sarebbe possibile, in alcun caso, su un’altra base; che senza una base strettamente deterministica tutto diventerebbe inconsistente. La nostra “immagine” della natura degenererebbe in un caos e non corrisponderebbe dunque alla natura effettivamente “esistente”, perché questa, tutto sommato, non è un perfetto caos.»

(Erwin Schrödinger,[67] 1931)

Il lavoro^[68] di Henri Poincaré pubblicato nel 1890 sul problema dei tre corpi e la stabilità del sistema solare^[69] è alla base della teoria del caos deterministico, o teoria dei sistemi complessi. La teoria del caos è lo studio attraverso modelli della fisica matematica dei sistemi fisici non lineari che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali.^[70] I sistemi di questo tipo sono governati da leggi deterministiche, eppure sono in grado di esibire una casualità empirica nell'evoluzione delle variabili dinamiche.^[71] Questo comportamento casuale si manifesta solo nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.^[70] Il caos deterministico implica la impredicibilità asintotica dei sistemi dinamici complessi. Ci troviamo quindi in una situazione differente rispetto a quella del determinismo laplaciano: ancora ad uno stato fisico presente completamente definito corrisponde un unico stato futuro ad esso compatibile, altrettanto definito; ma a due stati presenti molto simili possono corrispondere due stati futuri molto diversi tra loro (impredicibilità).^[66] Si ha in questo caso una forma di determinismo (le leggi dinamiche dei sistemi non lineari) che esclude esplicitamente la predicibilità.

L'avvento della meccanica quantistica mutò radicalmente la situazione. L'equazione di Schrödinger, formulata da Erwin Schrödinger nel 1925 e pubblicata^{[72][73][74][75]} nel 1926, è l'equazione fondamentale che determina l'evoluzione temporale dello stato quantico di un sistema, come ad esempio una particella, un atomo o una molecola. Si tratta di un'equazione d'onda differenziale alle derivate parziali, lineare, complessa e non relativistica, che ha come incognita la funzione d'onda ψ{displaystyle psi }. Tale funzione d'onda fu introdotta basandosi sull'ipotesi di de Broglie, secondo cui alle particelle che costituiscono la materia, come l'elettrone, è associata un'onda fisica caratteristica (onda di materia) che ha la forma di un pacchetto d'onde spazialmente localizzato. Erwin Schrödinger immaginò inizialmente che il modulo quadro della funzione d'onda ψ{displaystyle psi } associata all'elettrone descrivesse la densità di carica o la densità di massa della particella; tale interpretazione fu presto scartata perché il pacchetto d'onde si sparpaglia col passare del tempo, mentre la carica e la massa dell'elettrone restano sempre localizzate. Nel 1926 Max Born interpretò^[76][77] invece |ψ|2{displaystyle |psi |^{2}} come legata alla distribuzione di probabilità della posizione dell'elettrone nello spazio:

P=|ψ|2dV{displaystyle P=|psi |^{2},dV}

indica la probabilità di trovare la particella in un volume di spazio infinitesimo dV{displaystyle dV}.
L'argomento dell'equazione di Schrödinger non è più una grandezza fisica misurabile, come per le equazioni della fisica classica, ma una funzione d'onda complessa, il cui modulo quadro |ψ|2{displaystyle |psi |^{2}} viene interpretato come una densità di probabilità. Quindi le probabilità che compaiono in meccanica quantistica non sono più epistemiche,^{[Nota 22]} ma strutturali.^{[Nota 23]} Se si ritiene poi che l'equazione di Schrödinger con l'interpretazione data da Born alla funzione d'onda ψ{displaystyle psi } descriva la realtà fisica (assunzione del realismo scientifico), allora il probabilismo della meccanica quantistica risulta essere ontologico.^{[Nota 18]}

L'interpretazione di Born entrò successivamente a far parte dell'interpretazione ortodossa della meccanica quantistica, nota come interpretazione di Copenaghen. Secondo tale diffusa (ma non universalmente accettata) interpretazione della meccanica quantistica, un sistema fisico microscopico non possiede proprietà oggettive (anti-realismo) prima che queste siano misurate mediante un apparato di misura.^{[Nota 17]} La meccanica quantistica fornirebbe a priori solo un insieme di probabilità attribuibili al possibile esito di una misura (probabilismo ontologico^{[Nota 18]}). Inoltre l'impossibilità di definire il valore delle variabili prima di una misura^{[Nota 17]} fa mancare una condizione essenziale all'evoluzione deterministica del sistema: la completa definizione dello stato iniziale. «Secondo la cosiddetta "interpretazione di Copenaghen" della meccanica quantistica, [...] i risultati delle misurazioni che possiamo fare quando ci occupiamo di particelle atomiche sono dunque essenzialmente, sostanzialmente e strutturalmente non deterministici» (Mariangela Priarolo,^[78] 2011)

L'indeterminismo introdotto dalle disuguaglianze di Heisenberg è ancora più fondamentale di quello legato all'interpretazione di Copenhagen.
Esistono infatti altre interpretazioni della meccanica quantistica che non condividono il ruolo centrale del processo di misura (quindi l'anti-realismo e l'indeterminismo) assunti dall'interpretazione di Copenhagen. Ma con Heisenberg, «nella formulazione [...] del principio di causalità: "se conosciamo in modo preciso il presente, possiamo prevedere il futuro", non è falsa la conclusione, bensì la premessa». Basta infatti riscrivere l'indeterminazione posizione/momento nella forma

Δxo⋅Δvo≥ℏ2m{displaystyle Delta x_{o}cdot Delta v_{o},geq ,{frac {hbar }{2m}}}

per rendersi conto che non si può avere, in linea di principio, conoscenza esatta delle condizioni del sistema ad un dato istante to{displaystyle t_{o}}: tanto più si tenta di ridurre l'incertezza sulla variabile xo{displaystyle x_{o}}, tanto più aumenta l'incertezza su vo{displaystyle v_{o}} (relazione di proporzionalità inversa tra le due). Ci si trova nel primo dei due casi possibili d'indeterminismo: lo stato presente non è completamente definibile oppure a un medesimo stato presente completamente definito possono corrispondere molti stati futuri possibili, uno solo dei quali si realizzerà.^[66]

Le disuguaglianze di Kennard e di Robertson mostrano un ulteriore significato dell'indeterminazione quantistica. Mentre le disuguaglianze di Heisenberg implicano sempre una misura, e il conseguente disturbo da questa provocata su misure dell'osservabile coniugata (indeterminismo operazionale), quelle di Kennard e Robertson evidenziano proprietà caratteristiche dei sistemi quantistici (indeterminismo intrinseco). L'indeterminazione passa dall'essere un fenomeno inerentemente legato agli strumenti e alle misure, ad essere una peculiarità della meccanica quantistica. È il formalismo matematico della teoria (spazi di Hilbert a infinite dimensioni) ad implicare l'indeterminismo quantistico, secondo le tesi del realismo strutturale.^[79]
O in alternativa si tratta di una caratteristica degli enti quantistici (fotoni, particelle massive), che si differenziano anche per questo indeterminismo intrinseco^{[Nota 24]} dagli enti della fisica classica (onde o particelle macroscopiche), come sostiene il realismo scientifico. In entrambi i casi, l'indeterminazione risulta essere una peculiarità fondativa ed essenziale della meccanica quantistica.

Una conseguenza immediata della disuguaglianza scritta sopra è la perdita del concetto di traiettoria^{[Nota 25]} per le particelle atomiche e subatomiche: non avendo precisa conoscenza delle condizioni iniziali (xo{displaystyle x_{o}}, vo{displaystyle v_{o}}), non è possibile ricavare la traiettoria, ovvero determinare l'insieme continuo dei punti dello spazio in cui la particella si è trovata in passato (t<to{displaystyle t<t_{o}}), o si troverà in futuro (t>to{displaystyle t>t_{o}}).
Questo fatto introduce un'ulteriore differenza fondamentale tra le particelle classiche e quelle quantistiche: particelle identiche classiche sono distinguibili mentre particelle identiche quantistiche risultano indistinguibili.^{[Nota 26]} L'unico modo di distinguere due particelle identiche che entrino in contatto è infatti la diversa traiettoria che hanno seguito prima dell'urto (t<to{displaystyle t<t_{o}}), e che seguiranno dopo l'urto (t>to{displaystyle t>t_{o}}). A due particelle identiche classiche si applica la II legge di Newton; quindi in linea di principio è sempre possibile ricostruirne le traiettorie, e sapere cosa succede a ciascuna particella dopo l'urto. Ma per due particelle identiche quantistiche non si ha precisa conoscenza delle condizioni iniziali (xo{displaystyle x_{o}}, vo{displaystyle v_{o}}), e quindi non è possibile ricavare le traiettorie. In mancanza di tale informazione, risulta impossibile stabilire "chi è chi" dopo l'urto, ovvero distinguerle.

Altre proprietà tipicamente quantistiche sono l'elicità dei fotoni e lo spin^{[Nota 27]} delle particelle massive. Il teorema spin-statistica mette in relazione lo spin di una particella con la statistica^{[Nota 28]} a cui essa obbedisce. La tesi del teorema enuncia che le particelle a spin intero (0, 1, 2,...) seguono la statistica di Bose-Einstein, mentre quelle a spin semidispari (1/2, 3/2, 5/2,...) obbediscono alla statistica di Fermi-Dirac.^{[Nota 29]} Il teorema fu enunciato per la prima volta nel 1939 da Markus Fierz,^[80] e fu riderivato in maniera più sistematica da Wolfgang Pauli.^[81][82] Argomentazioni di teoria quantistica dei campi (la richiesta d'invarianza per riflessioni temporali impone una restrizione alle proprietà dell'operatore di campo che corrisponde alla connessione tra spin e statistica delle particelle) furono fornite^[83] da Julian Schwinger nel 1951. Nel 1961 Richard Feynman ne diede una dimostrazione^[84] più intuitiva, partendo da presupposti differenti.

La classificazione delle particelle quantistiche è fatta a partire dallo spin, che permette di distinguere due classi di particelle: bosoni, con spin intero (0, 1, 2,...) e fermioni, con spin semidispari (1/2, 3/2, 5/2,...).^{[Nota 30]} I fermioni obbediscono al principio di esclusione di Pauli (due fermioni identici non possono occupare simultaneamente lo stesso stato quantico) e seguono la statistica di Fermi-Dirac. I bosoni invece sono liberi di affollare lo stesso stato quantico e seguono la statistica di Bose-Einstein.

Come detto, gli enti quantistici hanno proprietà peculiari profondamente diverse da quelle degli enti della fisica classica (onde o particelle macroscopiche):

1. Indeterminismo intrinseco


2. Assenza di traiettoria


3. Particelle identiche indistinguibili
   


4. Sono dotati di spin o elicità
   


5. Sono bosoni o fermioni
   


6. Seguono la statistica di Bose-Einstein o quella di Fermi-Dirac
   

Risulta pertanto improprio cercare di classificare bosoni e fermioni sulla base di categorie classiche quali onde o particelle macroscopiche. Il dualismo onda/particella è stato un concetto problematico che ha caratterizzato la meccanica quantistica fin dalle origini.^[85]
L'opinione, tra gli altri, di Richard Feynman^[86] e di Jean-Marc Lévy-Leblond^[87] è che si debbano evitare termini classici nel definire gli enti della meccanica quantistica. L'epistemologo Mario Bunge ha coniato^[88][89] nel 1967 il termine quantone proprio per denominare con una sola parola bosoni e fermioni. Resta da capire come mai i quantoni manifestino proprietà a volte corpuscolari, a volte ondulatorie (dualismo onda/particella). Forse aiuta ad intuire la metafora del cilindro (quantone): non è né un cerchio, né un quadrato, ma le sue proiezioni (visioni classiche) ci forniscono, a seconda della prospettiva, l'immagine di un cerchio (onda) o di un quadrato (particella macroscopica).

Note |

Approfondimenti |

Fonti |

Bibliografia |

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• A. Zeilinger, Il velo di Einstein, Einaudi, Torino 2005.

Voci correlate |

• Dualismo onda-particella


• Indeterminismo


• Interpretazione di Bohm


• Interpretazione di Copenaghen


• Meccanica quantistica


• Postulati della meccanica quantistica


• Teorie delle variabili nascoste

Altri progetti |

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Collegamenti esterni |

• 
  


• 
  Principio di indeterminazione di Heisenberg, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  


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  (EN) Principio di indeterminazione di Heisenberg, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
  


• (EN) Il principio d'indeterminazione (2016), su plato.stanford.edu.


• Un inaspettato legame fra principio di indeterminazione e non-località (2010), su lescienze.espresso.repubblica.it.


• (EN) Il principio di determinazione (2005), su daarb.narod.ru.

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V · D · M Meccanica quantistica
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