Jfyhkgu

Esta página ou secção não cita fontes confiáveis e independentes, o que compromete sua credibilidade (desde setembro de 2011). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido. —Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

 Nota: Para outros significados, veja Cone (desambiguação).

Um cone.

Em geometria, o cone é o sólido geométrico de base circular definido a partir de uma pirâmide de base regular, cujo número de lados/vértices da base tende ao infinito, e a área de cada face lateral tende a zero.

.

Classificação |

Os cones podem ser divididos em:

• Reto;


• Oblíquo;


• Equilátero.

Reto |

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base.
Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

Oblíquo |

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

Equilátero |

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Cone de um espaço vetorial |

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

Fórmulas |

O volume, V{textstyle V}, de um cone de altura, h{textstyle h}, e base com raio, r{textstyle r}, é 1/3{textstyle 1/3} do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja:

V=13πr2h{displaystyle V={frac {1}{3}}pi r^{2}h}

O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a 1/4{textstyle 1/4} da distância da base ao eixo.
A área da superfície de um cone A{textstyle A} é dada por:

A=πr(r+g){displaystyle A=pi r(r+g)}

onde, g=r2+h2{textstyle g={sqrt {r^{2}+h^{2}}}} é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula, πr2{textstyle pi r^{2}} é a área da base, enquanto que o segundo termo πrg{textstyle pi rg} é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:

_{A=πr⋅g+πr2{displaystyle A=pi rcdot g+pi r^{2}}}

Com uso de cálculo integral |

Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura h{textstyle h} e raio r{textstyle r} corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:

y=rhx{displaystyle y={frac {r}{h}}x}

em torno do eixo x{textstyle x}.

Volume

Cone de revolução.

Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:

A=πy2=π(rhx)2{displaystyle A=pi y^{2}=pi left({frac {r}{h}}xright)^{2}}

Para um deslocamento infinitesimal dx{textstyle dx} tem-se o incremento de volume:

dV=πr2h2x2dx{displaystyle dV=pi {frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}dx}

Então, integrando de 0{textstyle 0} a h{textstyle h} obtemos o volume do cone:

∫0hdV=πr2h2∫0hx2dx⇒V=13πr2h{displaystyle int _{0}^{h}dV=pi {frac {r^{2}}{h^{2}}}int _{0}^{h}x^{2}dxRightarrow V={frac {1}{3}}pi r^{2}h}

Área total

O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:

Ab=πr2{displaystyle A_{b}=pi r^{2}}

Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal dx{textstyle dx} corresponde a um deslocamento de comprimento de linha dL{textstyle dL} sobre a reta y=rhx{textstyle y={frac {r}{h}}x}. Pelo Teorema de Pitágoras temos que (dL)2=(dy)2+(dx)2{displaystyle (dL)^{2}=(dy)^{2}+(dx)^{2}}, ou seja:

dL=(dydx)2+1dx{displaystyle dL={sqrt {left({frac {dy}{dx}}right)^{2}+1}},dx}

Considerando a rotação do segmento dL{textstyle dL} em torno do eixo x{textstyle x}, temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:

dAl=2πydL{displaystyle dA_{l}=2pi y,dL}

Substituindo y{textstyle y} e dL{textstyle dL} em função de x{textstyle x} e dx{textstyle dx}, obtemos:

dAl=2πrhxr2h2+1dx{displaystyle dA_{l}=2pi {frac {r}{h}}x{sqrt {{frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}},dx}

Integrando de 0{textstyle 0} a h{textstyle h}, temos:

∫0hdAl=∫0h2πrhxr2h2+1dx⇒Al=πrr2+h2{displaystyle int _{0}^{h}dA_{l}=int _{0}^{h}2pi {frac {r}{h}}x{sqrt {{frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}},dxRightarrow A_{l}=pi r{sqrt {r^{2}+h^{2}}}}

Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:

A=πr(g+r){displaystyle A=pi r(g+r)}

onde, g=r2+h2{displaystyle g={sqrt {r^{2}+h^{2}}}}.

Para cones equiláteros |

A área da base do cone é:

Ab=πr2{displaystyle A_{b}=pi r^{2}}

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)2=h2+r2{textstyle (2r)^{2}=h^{2}+r^{2}}, logo h2=4r2−r2=3r2{textstyle h^{2}=4r^{2}-r^{2}=3r^{2}}, assim:

h=r3{displaystyle h=r{sqrt {3}}}

Como o volume do cone é obtido por 1/3{textstyle 1/3} do produto da área da base pela altura, temos:

V=πr333{displaystyle V={frac {pi r^{3}{sqrt {3}}}{3}}}

Similarmente, a área lateral é dada por:

Al=π⋅r⋅g=π⋅r⋅2r=2⋅π⋅r2{displaystyle A_{l}=pi cdot rcdot g=pi cdot rcdot 2r=2cdot pi cdot r^{2}}

e, a área total por:

A=3πr2{displaystyle A=3pi r^{2}}

Ver também |

• Cônica


• Quádrica


• Círculo


• Circunferência


• Elipse


• Parábola


• Hipérbole


• Reta


• Ciclóide


• Cardióide


• Leminiscata


• Espiral

Ligações externas |

• (em inglês) Volume de um cone truncado elíptica
  

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e