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En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire^[1] mais beaucoup d'auteurs^[2] réservent le mot de « transformation » à celles qui sont bijectives) est une application entre deux espaces vectoriels sur un corps K ou deux modules sur un anneau qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels ou modules, ou, en d'autres termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ».

Définitions |

Soient E et F deux espaces vectoriels à gauche sur un corps K. Une application f : E → F est dite linéaire^[3],[4] (ou « morphisme de K-espaces vectoriels ») si elle vérifie à la fois

∀(x,y)∈E2f(x+y)=f(x)+f(y){displaystyle forall (x,y)in E^{2}quad f(x+y)=f(x)+f(y)}

et

∀λ∈K∀x∈Ef(λx)=λf(x){displaystyle forall lambda in Kquad forall xin Equad f(lambda x)=lambda f(x)}

Une application f possédant la première propriété est dite additive et, pour la seconde, homogène.

Caractérisations équivalentes :

L'application f est linéaire si et seulement si :

∀(x,y)∈E2∀λ,μ∈Kf(λx+μy)=λf(x)+μf(y){displaystyle forall (x,y)in E^{2}quad forall lambda ,mu in Kquad f(lambda x+mu y)=lambda f(x)+mu f(y)}

ou plus simplement :

∀(x,y)∈E2∀μ∈Kf(x+μy)=f(x)+μf(y){displaystyle forall (x,y)in E^{2}quad forall mu in Kquad f(x+mu y)=f(x)+mu f(y)}.

Autrement dit, f est linéaire si elle préserve les combinaisons linéaires^[5],[6], c'est-à-dire : pour toute famille finie (x_i)_{i ∈ I} de vecteurs et pour toute famille (λ_i)_{i ∈ I} de scalaires (c'est-à-dire d'éléments de K),
f(∑i∈Iλixi)=∑i∈Iλif(xi){displaystyle fleft(sum _{iin I}lambda _{i}x_{i}right)=sum _{iin I}lambda _{i}f(x_{i})}.

Notations :

On note L(E, F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F ; il peut aussi être noté L_K(E ; F) ou Hom_K(E, F)^[7], mais le corps K en indice est souvent omis et implicite lorsqu'il est facile à dériver du contexte.

Cas particuliers :

• Un isomorphisme^[8] d'espaces vectoriels est un morphisme bijectif. On note Isom(E, F) l'ensemble des isomorphismes de E sur F ;


• Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel de départ et d'arrivée. On note L(E) l'ensemble L(E, E) des endomorphismes de E ;


• Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note GL(E) le groupe des automorphismes de E (appelé aussi le groupe linéaire de E) ;


• Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps K, on parle de forme linéaire. On note E* l'ensemble des formes linéaires sur E (appelé aussi espace dual de E).

Noyau et image |

Si f est une application linéaire de E dans F, alors son noyau, noté Ker(f)^[9], et son image, notée Im(f)^[9], sont définis par :

Ker⁡(f)={x∈E∣f(x)=0}=f−1({0}){displaystyle operatorname {Ker} (f)={xin Emid f(x)=0}=f^{-1}({0})} ;

Im⁡(f)={f(x)∣x∈E}=f(E){displaystyle operatorname {Im} (f)={f(x)mid xin E}=f(E)}.

Ker provient de kernel^[10], traduction de « noyau » en anglais. Im provient de image.

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul (c'est une propriété générale des morphismes de groupes). Une application (linéaire ou pas) est surjective si et seulement si son image est égale à son ensemble d'arrivée tout entier.

L'ensemble Ker(f) est un sous-espace vectoriel de E et l'ensemble Im(f) est un sous-espace vectoriel de F. Plus généralement^[11],

• l'image réciproque par f d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E ;


• l'image directe par f d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F.

Pour toute famille génératrice (e_i)_{i ∈ I} de E, Im(f) est le sous-espace de F engendré par la famille (f(e_i))_{i ∈ I}.

L'espace vectoriel quotient F/Im(f) s'appelle le conoyau^[11] de f.

Le théorème de factorisation affirme que f induit un isomorphisme du quotient E/Ker(f) sur l'image Im(f).

Tout ce qui précède reste valide si « espace vectoriel » est remplacé par « module » et « corps » par « anneau ». Ce qui suit, en revanche, est spécifique aux espaces vectoriels sur un corps :

Deux espaces isomorphes ayant même dimension, il suit de l'isomorphisme ci-dessus la relation suivante (valable pour E et F de dimensions finies ou infinies), appelée théorème du rang :

dim⁡(Ker⁡(f))+dim⁡(Im⁡(f))=dim⁡(E){displaystyle dim(operatorname {Ker} (f))+dim(operatorname {Im} (f))=dim(E)}

La dimension de Im(f) est aussi appelée le rang de f et est notée rg(f).

Exemples |

• L'endomorphisme appelé homothétie vectorielle de rapport k : x ↦ kx où k est un scalaire d'un corps commutatif.


• L'application dérivation h ↦ h', de l'espace des applications dérivables de R dans R vers l'espace de toutes les applications de R dans R.

Propriétés |

• Soient E et F deux espaces vectoriels (resp. deux modules) à gauche sur le corps (resp. l'anneau) K. L'ensemble L(E, F) des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel (resp. un module) sur le centre de K.

• La composée de deux applications linéaires est linéaire. Plus précisément :
  ∀f∈L⁡(E,F)∀g∈L⁡(F,G)g∘f∈L⁡(E,G){displaystyle forall fin operatorname {L} (E,F)quad forall gin operatorname {L} (F,G)quad gcirc fin operatorname {L} (E,G)}.En particulier, ∘ est une loi de composition interne sur L(E).


• Si E est un K-espace vectoriel (resp. un K-module libre), une application linéaire f ∈ L(E, F) est entièrement déterminée par l'image par f d'une base de E. Plus précisément : pour toute base B de E, toute application de B dans F se prolonge de façon unique en une application linéaire de E dans F. Tout choix d'une base B de E fournit donc une bijection L⁡(E,F)→FB,f↦f|B{displaystyle operatorname {L} (E,F)to F^{B},fmapsto f_{|B}}^[12].


• Si E est de dimension finie et si le corps K est commutatif, alors la dimension de L(E, F) est donnée par :
  dim⁡(L⁡(E,F))=dim⁡(E)×dim⁡(F){displaystyle dim(operatorname {L} (E,F))=dim(E)times dim(F)}^[13].En particulier, si F est aussi de dimension finie alors L(E, F) l'est également.


• Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie (resp. des modules libres de type fini) à droite sur un corps (resp. un anneau) K, une application linéaire f de E dans F se représente par une matrice dans des bases fixées dans E et F. Cette représentation matricielle est commode pour calculer le noyau et l'image de f.

Notes et références |

Voir aussi |

• Opérateur borné entre espaces vectoriels normés


• Application multilinéaire

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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