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En algèbre, le terme de bivecteur désigne un tenseur antisymétrique d'ordre 2, c'est-à-dire une quantité X pouvant s'écrire

X=Xabωa∧ωb{displaystyle {mathbf {X} }=X_{ab}{mathbf {omega } }^{a}wedge {mathbf {omega } }^{b}},

où les quantités ω^a sont des formes linéaires et le signe ∧{displaystyle wedge } désigne le produit extérieur.

Un bivecteur peut être vu comme une application linéaire agissant sur les vecteurs et les transformant en formes linéaires. Les coefficients X_ab peuvent être vus comme formant une matrice antisymétrique.

Les bivecteurs sont abondamment utilisés en relativité générale, où plusieurs tenseurs peuvent être reliés à des bivecteurs. En particulier, le tenseur électromagnétique est un bivecteur, et le tenseur de Weyl peut être vu comme une application agissant sur les bivecteurs. Ce fait est d'ailleurs à l'origine d'une classification des différents espaces en fonction des caractéristiques que présente leur tenseur de Weyl dans ce contexte : il s'agit de la classification de Petrov.

Définitions variées |

Bivecteur simple |

Un bivecteur X est dit simple s'il peut s'exprimer sous la forme du produit extérieur de deux formes linéaires u et v, c'est-à-dire si l'on a

X=u∧v{displaystyle {mathbf {X} }={mathbf {u} }wedge {mathbf {v} }},

ou bien, en termes de composantes,

Xab=12(uavb−vaub).{displaystyle X_{ab}={frac {1}{2}}left(u_{a}v_{b}-v_{a}u_{b}right).}

Dans le cas d'une forme simple, la quantité XabXab{displaystyle X_{ab}X^{ab}} est dite de genre temps, de genre espace ou de genre lumière selon sa valeur (respectivement positive, négative et nulle dans le cas où la convention de signe de la métrique est (-+++) et respectivement négative, positive et nulle dans le cas de la convention inverse (+---)).

Bivecteur dual |

Dans un espace à quatre dimensions sur lequel est défini une métrique riemannienne, on peut utiliser le tenseur de Levi-Civita pour associer un bivecteur X{displaystyle {mathbf {X} }} à son bivecteur dual, noté X~{displaystyle {tilde {mathbf {X} }}}^[1], selon la formule

X~ab=12ϵabcdXcd{displaystyle {tilde {X}}_{ab}={frac {1}{2}}epsilon _{abcd}X^{cd}}.

Le dual d'un bivecteur dual correspond au signe près au vecteur d'origine :

(X~ab)~=−Xab{displaystyle left({tilde {X}}_{ab}right){}{tilde {}}=-X_{ab}}.

Deux bivecteurs X et Y satisfont à l'aide de leurs bivecteurs duaux quelques propriétés comme

XabY~ab=X~abYab{displaystyle X_{ab}{tilde {Y}}^{ab}={tilde {X}}_{ab}Y^{ab}},

XacYbc−X~bcY~ac=12gabXcdYcd{displaystyle X_{ac}Y_{b}{}^{c}-{tilde {X}}_{bc}{tilde {Y}}_{a}^{c}={frac {1}{2}}g_{ab}X_{cd}Y^{cd}}

Bivecteur autodual |

Un bivecteur complexe est dit autodual s'il satisfait à

X~=−iX{displaystyle {tilde {mathbf {X} }}=-i{mathbf {X} }}.

Tout bivecteur X peut se voir associer un bivecteur autodual X^* en le combinant avec son dual, selon la formule

X∗=X+iX~{displaystyle {mathbf {X} }^{*}={mathbf {X} }+i{tilde {mathbf {X} }}}.

Vecteur tridimensionnel complexe associé à un bivecteur |

La signification physique d'un bivecteur autodual apparaît en remarquant que les six composantes indépendantes d'un bivecteur réel peuvent être transformées en un vecteur tridimensionnel complexe. Il suffit pour cela de choisir un vecteur de genre temps, u et de définir la quantité X_a par

Xa=Xab∗ub{displaystyle X_{a}=X_{ab}^{*}u^{b}}.

Un calcul simple permet immédiatement de reconstituer le bivecteur original, par

Xab∗=2u[aXb]+iϵabcducXd=2(u[aXb])∗{displaystyle X_{ab}^{*}=2u_{[a}X_{b]}+iepsilon _{abcd}u^{c}X^{d}=2left(u_{[a}X_{b]}right)^{*}}.

Un exemple : le tenseur électromagnétique |

Le tenseur électromagnétique est un tenseur antisymétrique d'ordre 2. C'est donc un bivecteur. Le vecteur X calculé par la méthode ci-dessus donne

Xj=Ej−icBj{displaystyle X^{j}=E^{j}-icB^{j}}.

Référence |

• 
  (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein’s field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (ISBN 0521230411), pages 47 à 49.

Note |

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