Jfyhkgu

線分の幾何学的な定義

幾何学における線分（せんぶん、英: Line segment）とは2つの点に挟まれた直線の部分であり、それら端点の間にあるどの点も含む。

通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を閉線分、含まないものを開線分とすることもある。

線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。

定義

V を R または C 上のベクトル空間とし、L を V の部分集合とする。L がある適当なベクトル u, v ∈ V を選べば

L={u+tv∣t∈[0,1]}{displaystyle L={mathbf {u} +tmathbf {v} mid tin [0,1]}}

とパラメータ付けできるとき、L は線分（閉線分）であるという。あるいは同じことだが「線分は2点の凸包である」と定義してもよい。

この時、ベクトル u, u + v は L の端点 (end point) と呼ばれる。

線分が「開」か「閉」かの区別を要することもある。このとき、閉線分の定義は上述のもの、開線分 L は u, v ∈ V を選んで

L={u+tv∣t∈(0,1)}{displaystyle L={mathbf {u} +tmathbf {v} mid tin (0,1)}}

とパラメータ付けできる。片方の端点のみ開いた半開線分は、閉じた方の端点を u ∈ V 、開いた方を u + v ∈ V として

L={u+tv∣t∈[0,1)}{displaystyle L={mathbf {u} +tmathbf {v} mid tin [0,1)}}

となる。

性質

• 線分は連結で空ではない集合である。


• 
  V が位相線型空間の時、閉線分は V の閉集合である。しかし、開線分が V の開集合となるのは、V が一次元であるときであり、かつそのときに限る。


• もっと一般に、線分の概念は 順序幾何学（英語版） の枠組みで定義することができる。

関連項目

• 区間 (数学)


• 直線

参考文献

• David Hilbert: The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4（邦訳『幾何学基礎論』 清水弘文堂書房、1969年。）

外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、Line segmentに関連するメディアがあります。

• 
  Line Segment at PlanetMath
  


• 
  Definition of line segment With interactive animation


• Copying a line segment with compass and straightedge


• 
  Dividing a line segment into N equal parts with compass and straightedge Animated demonstration

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Line segmentの本文を含む