三角関数




三角関数（さんかくかんすう、英: trigonometric function）とは、平面三角法における、角の大きさと線分の長さの関係を記述する関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。三角関数という呼び名は三角法に由来するもので、後述する単位円を用いた定義に由来する呼び名として、円関数（えんかんすう、英: circular function）と呼ばれることがある。


三角関数には以下の6つがある。



  • sin（正弦、sine）

  • sec（正割、secant）

  • tan（正接、tangent）

  • cos（余弦、cosine）

  • csc（余割、cosecant）

  • cot（余接、cotangent）


特に sin, cos は幾何学的にも解析学的にも良い性質を持っているので、様々な分野で用いられる。例えば波や電気信号などは正弦関数と余弦関数を組み合わせることで表現することができる。この事実はフーリエ級数およびフーリエ変換の理論として知られ、音声などの信号の合成や解析の手段として利用されている。他にもベクトルの外積や内積は正弦関数および余弦関数を用いて表すことができ、ベクトルを図形に対応づけることができる。初等的には、三角関数は実数を変数とする一変数関数として定義される。三角関数の変数の対応するものとしては、図形のなす角度や、物体の回転角、波や信号のような周期的なものに対する位相などが挙げられる。


三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数の累乗と逆関数に関するものがある。通常、関数 f (x) の累乗は (f (x))2 = f (x)・f (x) や (f (x))−1 = 1 / f (x) のように書くが、三角関数の累乗は sin2x のように書かれることが多い。逆関数については通常の記法 (f −1(x)) と同じく、sin−1x などと表す（この文脈では従って、三角関数の逆数は分数を用いて 1/sin x のように、あるいは (sin x)−1 などと表される）。文献あるいは著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。また、三角関数の逆関数として −1 と添え字する代わりに関数の頭に arc とつけることがある（たとえば sin の逆関数として sin−1 の代わりに arcsin を用いる）。


三角関数に似た性質を持つ関数として、指数関数や双曲線関数、ベッセル関数などがある。また、三角関数を利用して定義される関数としてしばしば応用されるものにsinc関数がある。




目次






  • 1 定義


    • 1.1 直角三角形による定義


    • 1.2 単位円による定義


    • 1.3 級数による定義


    • 1.4 微分方程式による定義


    • 1.5 他の定義




  • 2 三角関数の性質


    • 2.1 周期性


    • 2.2 相互関係


      • 2.2.1 基本相互関係


      • 2.2.2 負角・余角・補角公式




    • 2.3 加法定理


    • 2.4 証明


      • 2.4.1 ピタゴラスの基本三角公式


      • 2.4.2 負角


      • 2.4.3 加法定理






  • 3 微積分


    • 3.1 (sin x)/x の x → 0 における極限




  • 4 無限乗積展開


  • 5 部分分数展開


  • 6 逆三角関数


  • 7 複素関数としての三角関数


  • 8 球面三角法


  • 9 出典


  • 10 参考文献


  • 11 関連項目


  • 12 外部リンク





定義



直角三角形による定義





∠C を直角とする直角三角形ABC


直角三角形において、1 つの鋭角の大きさが決まれば、三角形の内角の和は 180°であることから他の 1 つの鋭角の大きさも決まり、3 辺の比も決まる。ゆえに、角度に対して辺比の値を与える関数を考えることができる。


∠C を直角とする直角三角形 ABC において、それぞれの辺の長さを AB = h, BC = a, CA = b と表す（図を参照）。∠A = θ に対して三角形の辺の比 h : a : b が決まることから、


sin⁡θ=a/hsec⁡θ=h/b=1/cos⁡θtan⁡θ=a/b=sin⁡θ/cos⁡θcos⁡θ=b/hcosec⁡θ=csc⁡θ=h/a=1/sin⁡θcot⁡θ=b/a=1/tan⁡θ{displaystyle {begin{aligned}sin theta &={a}/{h}\sec theta &={h}/{b}={1}/{cos theta }\tan theta &={a}/{b}={sin theta }/{cos theta }\cos theta &={b}/{h}\operatorname {cosec} theta &=csc theta ={h}/{a}={1}/{sin theta }\cot theta &={b}/{a}={1}/{tan theta }end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}sin theta &={a}/{h}\sec theta &={h}/{b}={1}/{cos theta }\tan theta &={a}/{b}={sin theta }/{cos theta }\cos theta &={b}/{h}\operatorname {cosec} theta &=csc theta ={h}/{a}={1}/{sin theta }\cot theta &={b}/{a}={1}/{tan theta }end{aligned}}}

という 6 つの値が定まる。それぞれ正弦（sine; サイン）、正割（secant; セカント）、正接（tangent; タンジェント）、余弦（cosine; コサイン）、余割（cosecant; コセカント）、余接（cotangent; コタンジェント）と呼び、まとめて三角比と呼ばれる。ただし cosec は長いので csc と略記することも多い。ある角 ∠A に対する余弦、余割、余接はその角 ∠A の余角 (co-angle) に対する正弦、正割、正接として定義される。


cos⁡θ=sin⁡(90∘−θ)=sin⁡(π/2−θ)csc⁡θ=sec⁡(90∘−θ)=sec⁡(π/2−θ)cot⁡θ=tan⁡(90∘−θ)=tan⁡(π/2−θ){displaystyle {begin{aligned}cos theta &=sin left(90^{circ }-theta right)=sin(pi /2-theta )\csc theta &=sec left(90^{circ }-theta right)=sec(pi /2-theta )\cot theta &=tan left(90^{circ }-theta right)=tan(pi /2-theta )end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}cos theta &=sin left(90^{circ }-theta right)=sin(pi /2-theta )\csc theta &=sec left(90^{circ }-theta right)=sec(pi /2-theta )\cot theta &=tan left(90^{circ }-theta right)=tan(pi /2-theta )end{aligned}}}

三角比は平面三角法に用いられ、巨大な物の大きさや遠方までの距離を計算する際の便利な道具となる。角度 θ の単位は、通常度またはラジアンである。


三角比、すなわち三角関数の直角三角形を用いた定義は、直角三角形の鋭角に対して定義されるため、その定義域は θ が 0° から 90° まで(0 から π / 2 まで)の範囲に限られる。また、θ = 90° (= π / 2) の場合 sec, tan が、θ = 0°(= 0) の場合 csc, cot がそれぞれ定義されない。これは分母となる辺の比の大きさが 0 になるためゼロ除算が発生し、その除算自体が数学的に定義されないからである。一般の角度に対する三角関数を得るためには、三角関数について成り立つ何らかの定理を指針として、定義の拡張を行う必要がある。後述する単位円による定義は初等幾何学におけるそのような拡張の例である。他に同等な方法として、正弦定理や余弦定理を用いる方法などがある。



単位円による定義




単位円による、6つの三角関数が表す長さ


2 次元ユークリッド空間 R2 における単位円 {x(t)}2 + {y(t)}2 = 1 上の点を A = (x(t), y(t)) とする。反時計回りを正の向きとして、原点と円周を結ぶ線分 OA と x 軸のなす角の大きさ ∠xOA を媒介変数 t として選ぶ。このとき実変数 t に対する三角関数は以下のように定義される。


sin⁡t=ycos⁡t=xtan⁡t=yx=sin⁡tcos⁡t{displaystyle {begin{aligned}sin t&=y\cos t&=x\tan t&={frac {y}{x}}={frac {sin t}{cos t}}end{aligned}}}{begin{aligned}sin t&=y\cos t&=x\tan t&={frac {y}{x}}={frac {sin t}{cos t}}end{aligned}}

これらは順に正弦関数 (sine function)、余弦関数 (cosine function)、正接関数(tangent function) と呼ばれる。さらにこれらの逆数として以下の 3 つの関数が定義される。


csc⁡t=1y=1sin⁡tsec⁡t=1x=1cos⁡tcot⁡t=xy=1tan⁡t{displaystyle {begin{aligned}csc t&={frac {1}{y}}={frac {1}{sin t}}\sec t&={frac {1}{x}}={frac {1}{cos t}}\cot t&={frac {x}{y}}={frac {1}{tan t}}end{aligned}}}{begin{aligned}csc t&={frac {1}{y}}={frac {1}{sin t}}\sec t&={frac {1}{x}}={frac {1}{cos t}}\cot t&={frac {x}{y}}={frac {1}{tan t}}end{aligned}}

これらは順に余割関数 (cosecant function)、正割関数 (secant function)、余接関数 (cotangent function) と呼ばれ、sin, cos, tan と合わせて三角関数と総称される。特に csc, sec, cot は割三角関数（かつさんかくかんすう）と呼ばれることがある。


この定義は 0 < t < π / 2 の範囲では直角三角形による定義と一致する。



級数による定義


角度、辺の長さといった幾何学的な概念への依存を避けるため、また定義域を複素数に拡張するために、級数を用いて定義することもできる。この定義は実数の範囲では単位円による定義と一致する。以下の級数は共に示される収束円内で収束する。



  • z を複素変数、Bn をベルヌーイ数、En をオイラー数とする。

sin⁡z=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!z2n+1for all z,cos⁡z=∑n=0∞(−1)n(2n)!z2nfor all z,tan⁡z=∑n=1∞(−1)n22n(1−22n)B2n(2n)!z2n−1for |z|<π2,cot⁡z=∑n=0∞(−1)n22nB2n(2n)!z2n−1for 0<|z|<π,sec⁡z=∑n=0∞(−1)nE2n(2n)!z2nfor |z|<π2,csc⁡z=∑n=0∞(−1)n(2−22n)B2n(2n)!z2n−1for 0<|z|<π.{displaystyle {begin{aligned}sin z&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}quad {text{for all}} z,\cos z&=sum _{n=0}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}}{left(2nright)!}}z^{2n}quad {text{for all}} z,\tan z&=sum _{n=1}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}2^{2n}left(1-2^{2n}right)B_{2n}}{left(2nright)!}}z^{2n-1}quad {text{for}} |z|<{frac {pi }{2}},\cot z&=sum _{n=0}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}2^{2n}B_{2n}}{left(2nright)!}}z^{2n-1}quad {text{for}} 0<|z|<pi ,\sec z&=sum _{n=0}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}E_{2n}}{left(2nright)!}}z^{2n}quad {text{for}} |z|<{frac {pi }{2}},\csc z&=sum _{n=0}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}left(2-2^{2n}right)B_{2n}}{left(2nright)!}}z^{2n-1}quad {text{for}} 0<|z|<pi .end{aligned}}}{begin{aligned}sin z&=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}quad {text{for all}} z,\cos z&=sum _{n=0}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}}{left(2nright)!}}z^{2n}quad {text{for all}} z,\tan z&=sum _{n=1}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}2^{2n}left(1-2^{2n}right)B_{2n}}{left(2nright)!}}z^{2n-1}quad {text{for}} |z|<{frac {pi }{2}},\cot z&=sum _{n=0}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}2^{2n}B_{2n}}{left(2nright)!}}z^{2n-1}quad {text{for}} 0<|z|<pi ,\sec z&=sum _{n=0}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}E_{2n}}{left(2nright)!}}z^{2n}quad {text{for}} |z|<{frac {pi }{2}},\csc z&=sum _{n=0}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}left(2-2^{2n}right)B_{2n}}{left(2nright)!}}z^{2n-1}quad {text{for}} 0<|z|<pi .end{aligned}}


微分方程式による定義


実関数 f (x) の二階線型常微分方程式の初期値問題




f″(x)=−f(x),f(0)=1,f′(0)=0{displaystyle f''(x)=-f(x),;f(0)=1,;f'(0)=0}f''(x)=-f(x),;f(0)=1,;f'(0)=0


(1)


の解として cos x を定義し、sin x を −d (cos x)/dx として定義できる[1][2]。
上記の式を 1 階の連立常微分方程式に書き換えると、g (x) = f ' (x) として、




{f′(x)=g(x),g′(x)=−f(x){displaystyle {begin{cases}f'(x)=g(x),\g'(x)=-f(x)end{cases}}}{begin{cases}f'(x)=g(x),\g'(x)=-f(x)end{cases}}


(2)


および初期条件 f (0) = 1, g (0) = 0 となる。



他の定義


この他にも定積分による（逆三角関数を用いた）定義や複素平面の角の回転による定義などが知られている[1][3][4][5][6][7]。



三角関数の性質



周期性




正円より得られる cos θ と sin θ





sin x と cos x のグラフ。これらの関数の周期性が確認できる。


x 軸の正の部分となす角は


t=θ+2πn(0≤θ<2π,n∈Z){displaystyle t=theta +2pi nquad (0leq theta <2pi ,,nin mathbb {Z} )}t=theta +2pi nquad (0leq theta <2pi ,,nin mathbb {Z} )

と表すことができ、θ を偏角、t を一般角と言う。


一般角 t が 2π 進めば点 P(cos t, sin t) は単位円上を1周し元の位置に戻る。従って、


cos⁡(t+2πn)=cos⁡tsin⁡(t+2πn)=sin⁡t{displaystyle {begin{aligned}cos(t+2pi n)&=cos t\sin(t+2pi n)&=sin tend{aligned}}}{begin{aligned}cos(t+2pi n)&=cos t\sin(t+2pi n)&=sin tend{aligned}}

すなわち三角関数 cos, sin は周期 2π の周期関数である。


ほぼ同様に、tan, cot は周期 π の周期関数、sec, csc は周期 2π の周期関数である。




三角関数のグラフ: Sine（青実線）、 Cosine（緑実線）、 Tangent（赤実線）、 Cosecant（青点線）、 Secant（緑点線）、 Cotangent（赤点線）



相互関係


詳細は「三角関数の公式の一覧」を参照

単位円上の点の座標の関数であることから、三角関数の間には多数の相互関係が存在する。



基本相互関係


三角関数の間に成り立つ最も基本的な恒等式の 1 つとして


sin2⁡θ+cos2⁡θ=1{displaystyle sin ^{2}theta +cos ^{2}theta =1}sin ^{2}theta +cos ^{2}theta =1

が挙げられる。これはピタゴラスの基本三角関数公式 (Fundamental Pythagorean trigonometric identity) と呼ばれている[8]。


上記の式を変形して整理すれば、以下の式が導かれる。


sec2⁡θ−tan2⁡θ=1cos2⁡θ−tan2⁡θ=1,csc2⁡θ−cot2⁡θ=1sin2⁡θ−1tan2⁡θ=1.{displaystyle {begin{aligned}sec ^{2}theta -tan ^{2}theta &={frac {1}{cos ^{2}theta }}-tan ^{2}theta =1,\csc ^{2}theta -cot ^{2}theta &={frac {1}{sin ^{2}theta }}-{frac {1}{tan ^{2}theta }}=1.end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}sec ^{2}theta -tan ^{2}theta &={frac {1}{cos ^{2}theta }}-tan ^{2}theta =1,\csc ^{2}theta -cot ^{2}theta &={frac {1}{sin ^{2}theta }}-{frac {1}{tan ^{2}theta }}=1.end{aligned}}}


負角・余角・補角公式



負角

sin⁡(−θ)=−sin⁡θcos⁡(−θ)=cos⁡θtan⁡(−θ)=−tan⁡θ{displaystyle {begin{aligned}sin(-theta )&=-sin theta \cos(-theta )&=cos theta \tan(-theta )&=-tan theta end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}sin(-theta )&=-sin theta \cos(-theta )&=cos theta \tan(-theta )&=-tan theta end{aligned}}}

余角

sin⁡(π/2−θ)=cos⁡θcos⁡(π/2−θ)=sin⁡θtan⁡(π/2−θ)=cot⁡θ{displaystyle {begin{aligned}sin(pi /2-theta )&=cos theta \cos(pi /2-theta )&=sin theta \tan(pi /2-theta )&=cot theta end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}sin(pi /2-theta )&=cos theta \cos(pi /2-theta )&=sin theta \tan(pi /2-theta )&=cot theta end{aligned}}}

補角

sin⁡(π−θ)=sin⁡θcos⁡(π−θ)=−cos⁡θtan⁡(π−θ)=−tan⁡θ{displaystyle {begin{aligned}sin(pi -theta )&=sin theta \cos(pi -theta )&=-cos theta \tan(pi -theta )&=-tan theta end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}sin(pi -theta )&=sin theta \cos(pi -theta )&=-cos theta \tan(pi -theta )&=-tan theta end{aligned}}}



加法定理


sin⁡(x±y)=sin⁡xcos⁡y±cos⁡xsin⁡ycos⁡(x±y)=cos⁡xcos⁡y∓sin⁡xsin⁡ytan⁡(x±y)=tan⁡x±tan⁡y1∓tan⁡xtan⁡y{displaystyle {begin{aligned}sin(xpm y)&=sin xcos ypm cos xsin y\cos(xpm y)&=cos xcos ymp sin xsin y\tan(xpm y)&={frac {tan xpm tan y}{1mp tan xtan y}}end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}sin(xpm y)&=sin xcos ypm cos xsin y\cos(xpm y)&=cos xcos ymp sin xsin y\tan(xpm y)&={frac {tan xpm tan y}{1mp tan xtan y}}end{aligned}}}

余角や補角の公式は加法定理の特別な場合として得られることに注意する。



証明



ピタゴラスの基本三角公式


三角関数および指数関数は冪級数によって定義されているものとすると、負角公式と指数法則およびオイラーの公式より


1=e0=eiθ−iθ=eiθe−iθ=(cos⁡θ+isin⁡θ)(cos⁡θ−isin⁡θ)=sin2⁡θ+cos2⁡θ{displaystyle {begin{aligned}1&=e^{0}=e^{itheta -itheta }=e^{itheta }e^{-itheta }\&=left(cos theta +isin theta right)left(cos theta -isin theta right)\&=sin ^{2}theta +cos ^{2}theta end{aligned}}}{begin{aligned}1&=e^{0}=e^{itheta -itheta }=e^{itheta }e^{-itheta }\&=left(cos theta +isin theta right)left(cos theta -isin theta right)\&=sin ^{2}theta +cos ^{2}theta end{aligned}}

である。



負角


sin および cos については、冪級数による表示から明らかである。また


tan⁡(−θ)=sin⁡(−θ)cos⁡(−θ)=−sin⁡θcos⁡θ=−tan⁡θ{displaystyle tan(-theta )={frac {sin(-theta )}{cos(-theta )}}={frac {-sin theta }{cos theta }}=-tan theta }{displaystyle tan(-theta )={frac {sin(-theta )}{cos(-theta )}}={frac {-sin theta }{cos theta }}=-tan theta }

である。



加法定理


オイラーの公式




eiz=cos⁡z+isin⁡z{displaystyle e^{iz}=cos z+isin z}e^{iz}=cos z+isin z


Euler's formula


と負角の公式から


cos⁡z=eiz+e−iz2,sin⁡z=eiz−e−iz2i{displaystyle cos z={frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},sin z={frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}{displaystyle cos z={frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},sin z={frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}

を得、指数法則


ez+w=ezew{displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}}e^{z+w}=e^{z}e^{w}

を用いれば sin, cos の加法定理が得られる。これらから他の三角関数についての加法定理も得られる。





PQ（緑の線分の長さ）を求める。


また、三平方の定理から加法定理を示す方法が挙げられる。この方法では、円周上の任意の 2 点間の距離を 2 通りの座標系について求めることで、両者が等しいことから加法定理を導く。2 点間の距離を求めるのに三平方の定理を用いる。以下では単位円のみを取り扱うが、円の半径によらずこの方法から加法定理を得ることができる。


単位円の周上に 2 点 P = (cos p, sin p), Q = (cos q, sin q) を取る。P と Q を結ぶ線分の長さを PQ として、その 2 乗 PQ2 を 2 通りの方法で求めることを考える（右図も参照）。


P と Q の x 座標の差と y 座標の差から、三平方の定理を用いて PQ2 を求める。




PQ2=(cos⁡p−cos⁡q)2+(sin⁡p−sin⁡q)2=(cos2⁡p+sin2⁡p)+(cos2⁡q+sin2⁡q)−2(cos⁡pcos⁡q+sin⁡psin⁡q)=2−2(cos⁡pcos⁡q+sin⁡psin⁡q).{displaystyle {begin{aligned}mathrm {PQ} ^{2}&=left(cos p-cos qright)^{2}+left(sin p-sin qright)^{2}\&=left(cos ^{2}p+sin ^{2}pright)+left(cos ^{2}q+sin ^{2}qright)-2left(cos pcos q+sin psin qright)\&=2-2left(cos pcos q+sin psin qright).end{aligned}}}{begin{aligned}mathrm {PQ} ^{2}&=left(cos p-cos qright)^{2}+left(sin p-sin qright)^{2}\&=left(cos ^{2}p+sin ^{2}pright)+left(cos ^{2}q+sin ^{2}qright)-2left(cos pcos q+sin psin qright)\&=2-2left(cos pcos q+sin psin qright).end{aligned}}


(1)


次に Q = (cos 0, sin 0) = (1, 0) となるような座標系を取り、同様に三平方の定理から PQ2 を求める。この座標系に対する操作は、x 軸および y 軸を角度 q だけ回転させる操作に相当するので、P = (cos(p − q), sin(p − q)) となる。従って、




PQ2=(cos⁡(p−q)−1)2+(sin⁡(p−q)−0)2=2−2cos⁡(p−q){displaystyle {begin{aligned}mathrm {PQ} ^{2}&=left(cos(p-q)-1right)^{2}+left(sin(p-q)-0right)^{2}\&=2-2cos(p-q)end{aligned}}}{begin{aligned}mathrm {PQ} ^{2}&=left(cos(p-q)-1right)^{2}+left(sin(p-q)-0right)^{2}\&=2-2cos(p-q)end{aligned}}


(2)


となる。


(1) と (2) の右辺が互いに等しいことから、次の cos に関する加法定理が得られる。




cos⁡pcos⁡q+sin⁡psin⁡q=cos⁡(p−q).{displaystyle {begin{aligned}cos pcos q+sin psin q=cos(p-q).end{aligned}}}{begin{aligned}cos pcos q+sin psin q=cos(p-q).end{aligned}}


(3)


三角関数の他の性質を利用することで、(3) から sin の加法定理なども導くことができる。



微積分


三角関数の微積分は、以下の表のとおりである。ただし、これらの結果には様々な（一見同じには見えない）表示が存在し、この表における表示はいくつかの例であることに注意されたい。







































f(x){displaystyle f(x)}f(x)
f′(x){displaystyle f'(x)}f'(x)
∫f(x)dx{displaystyle int f(x),dx}int f(x),dx

sin⁡x{displaystyle sin x}sin x
cos⁡x{displaystyle cos x}cos x
−cos⁡x+C{displaystyle -cos x+C}-cos x+C

cos⁡x{displaystyle cos x}cos x
−sin⁡x{displaystyle -sin x}-sin x
sin⁡x+C{displaystyle sin x+C}sin x+C

tan⁡x{displaystyle tan x}tan x
sec2⁡x=1+tan2⁡x{displaystyle sec ^{2}x=1+tan ^{2}x}sec ^{2}x=1+tan ^{2}x
−ln⁡|cos⁡x|+C{displaystyle -ln left|cos xright|+C}-ln left|cos xright|+C

cot⁡x{displaystyle cot x}cot x
−csc2⁡x=−(1+cot2⁡x){displaystyle -csc ^{2}x=-left(1+cot ^{2}xright)}-csc ^{2}x=-left(1+cot ^{2}xright)
ln⁡|sin⁡x|+C{displaystyle ln left|sin xright|+C}ln left|sin xright|+C

sec⁡x{displaystyle sec x}sec x
sec⁡xtan⁡x{displaystyle sec xtan x}sec xtan x
ln⁡|sec⁡x+tan⁡x|+C=gd−1⁡x+C{displaystyle ln left|sec x+tan xright|+C=operatorname {gd} ^{-1}x+C}ln left|sec x+tan xright|+C=operatorname {gd} ^{-1}x+C

csc⁡x{displaystyle csc x}csc x
−csc⁡xcot⁡x{displaystyle -csc xcot x}-csc xcot x
−ln⁡|csc⁡x+cot⁡x|+C=ln⁡|tan⁡x2|+C{displaystyle -ln left|csc x+cot xright|+C=ln left|tan {frac {x}{2}}right|+C}-ln left|csc x+cot xright|+C=ln left|tan {frac {x}{2}}right|+C

ただし、gd−1x はグーデルマン関数の逆関数である。


三角関数の微分では、次の極限


limh→0sin⁡hh=1{displaystyle lim _{hto 0}{frac {sin h}{h}}=1}lim _{hto 0}{frac {sin h}{h}}=1

の成立が基本的である。このとき、sin x の導関数が cos x であることは加法定理から従う（が、後述のようにこれは循環論法であると指摘される）。さらに余角公式 cos x = sin (π /2 − x) から cos x の導関数は −sin x である。すなわち、sin x は微分方程式 y'' (x) + y (x) = 0 の特殊解である。また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。



(sin x)/x の x → 0 における極限


(sin x)/x の x → 0 における極限が 1 であることを証明するときに、中心角 x ラジアンの扇形の面積を2つの三角形の面積ではさんだり[9]、弧長を線分の長さではさんだりして[10][11]、いわゆるはさみうちの原理から証明する方法がある。これは一般的な日本の高校の教科書[12][13]にも載っているものであるが、循環論法であるため論理が破綻しているという主張がなされることがある[14][15]。ここで問題となるのは、証明に面積やラジアン、弧長が利用されていることである。例えば面積について言えば、面積は積分によって定義されるものであるとすると、扇形の面積を求めるには三角関数の積分が必要となる。三角関数の積分をするには三角関数の微分ができなければならないが、三角関数を微分するにはもとの極限が必要になる。このことが循環論法と呼ばれているのである。


単位円板の面積が π であることを自明な概念と考えてしまえば循環論法にはならないが、これはいくつかの決められた公理・定義から論理的演繹のみによって証明されたものだけを正しいと考える現代数学の思想とは相反するものである。循環論法を回避する方法の 1 つは、正弦関数と余弦関数を上述のような無限級数で定義するものである（これは三角関数の標準的な定義の 1 つである。また、この無限級数の収束半径は無限大である（すなわち任意の実数や複素数で収束する））。この定義に基づいて (sin x)/x → 1 (x → 0) を示すことができる。


しかしながら、このように定義された三角関数が、本来持つべき幾何学的な性質を有しているかどうかは全く明らかなことではない。これを確かめるためには、三角関数の諸公式（周期性やピタゴラスの基本三角関数公式等）を証明し、また円周率は、余弦関数の正の最小の零点（つまり、cos x = 0 となる正の最小の値）の存在を示し、その 2 倍と定義する。すると、x↦(cos⁡x,sin⁡x){displaystyle xmapsto (cos x,sin x)}xmapsto (cos x,sin x) が区間 [0, 2π) から単位円周への（「反時計まわりの」）全単射であることを示すことができる。（連続微分可能な）曲線の長さを積分によって定義すれば、単位円周の長さが 2π であることなどがわかり、上のように定義された三角関数や円周率は、初等幾何での三角関数や円周率の素朴な定義と同じものであることが分かった[16]。



無限乗積展開


詳細は「三角関数の無限乗積展開」を参照

三角関数は以下のように無限乗積として書ける。


sin⁡πz=πz∏n=1∞(1−z2n2)cos⁡πz=∏n=1∞{1−z2(n−1/2)2}{displaystyle {begin{aligned}sin pi z&=pi zprod _{n=1}^{infty }{left(1-{frac {z^{2}}{n^{2}}}right)}\cos pi z&=prod _{n=1}^{infty }left{1-{frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}}}right}end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}sin pi z&=pi zprod _{n=1}^{infty }{left(1-{frac {z^{2}}{n^{2}}}right)}\cos pi z&=prod _{n=1}^{infty }left{1-{frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}}}right}end{aligned}}}


部分分数展開


詳細は「三角関数の部分分数展開」を参照

三角関数は以下のように部分分数に展開される。


πcot⁡πz=limN→∞∑n=−NN1z+n=1z+∑n=1∞2zz2−n2πtan⁡πz=−limN→∞∑n=−NN1z+1/2+n=−∑n=0∞2zz2−(n+1/2)2πsin⁡πz=limN→∞∑n=−NN(−1)nz+n=1z+∑n=1∞(−1)n2zz2−n2πcos⁡πz=limN→∞∑n=−NN(−1)nz+1/2+n=−∑n=0∞(−1)n(2n+1)z2−(n+1/2)2{displaystyle {begin{aligned}pi cot pi z&=lim _{Nto infty }sum _{n=-N}^{N}{frac {1}{z+n}}={frac {1}{z}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {2z}{z^{2}-n^{2}}}\pi tan pi z&=-lim _{Nto infty }sum _{n=-N}^{N}{frac {1}{z+1/2+n}}=-sum _{n=0}^{infty }{frac {2z}{z^{2}-(n+1/2)^{2}}}\{frac {pi }{sin pi z}}&=lim _{Nto infty }sum _{n=-N}^{N}{frac {(-1)^{n}}{z+n}}={frac {1}{z}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n}2z}{z^{2}-n^{2}}}\{frac {pi }{cos pi z}}&=lim _{Nto infty }sum _{n=-N}^{N}{frac {(-1)^{n}}{z+1/2+n}}=-sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n+1)}{z^{2}-(n+1/2)^{2}}}end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}pi cot pi z&=lim _{Nto infty }sum _{n=-N}^{N}{frac {1}{z+n}}={frac {1}{z}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {2z}{z^{2}-n^{2}}}\pi tan pi z&=-lim _{Nto infty }sum _{n=-N}^{N}{frac {1}{z+1/2+n}}=-sum _{n=0}^{infty }{frac {2z}{z^{2}-(n+1/2)^{2}}}\{frac {pi }{sin pi z}}&=lim _{Nto infty }sum _{n=-N}^{N}{frac {(-1)^{n}}{z+n}}={frac {1}{z}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n}2z}{z^{2}-n^{2}}}\{frac {pi }{cos pi z}}&=lim _{Nto infty }sum _{n=-N}^{N}{frac {(-1)^{n}}{z+1/2+n}}=-sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n+1)}{z^{2}-(n+1/2)^{2}}}end{aligned}}}


逆三角関数


詳細は「逆三角関数」を参照

三角関数の定義域を適当に制限したものの逆関数を逆三角関数（ぎゃくさんかくかんすう、英: inverse trigonometric function）と呼ぶ。逆三角関数は逆関数の記法に則り、元の関数の記号に −1 を右肩に付して表す。たとえば逆正弦関数（ぎゃくせいげんかんすう、英: inverse sine; インバース・サイン）は sin−1x などと表す。arcsin, arccos, arctan などの記法もよく用いられる。数値計算などにおいては、これらの逆関数はさらに asin, acos, atan などと書き表される。


x=sin⁡y⟺y=sin−1⁡xx=cos⁡y⟺y=cos−1⁡xx=tan⁡y⟺y=tan−1⁡xx=cot⁡y⟺y=cot−1⁡xx=sec⁡y⟺y=sec−1⁡xx=cosec⁡y⟺y=cosec−1⁡x{displaystyle {begin{aligned}x=sin y&iff y=sin ^{-1}x\x=cos y&iff y=cos ^{-1}x\x=tan y&iff y=tan ^{-1}x\x=cot y&iff y=cot ^{-1}x\x=sec y&iff y=sec ^{-1}x\x=operatorname {cosec} y&iff y=operatorname {cosec} ^{-1}xend{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}x=sin y&iff y=sin ^{-1}x\x=cos y&iff y=cos ^{-1}x\x=tan y&iff y=tan ^{-1}x\x=cot y&iff y=cot ^{-1}x\x=sec y&iff y=sec ^{-1}x\x=operatorname {cosec} y&iff y=operatorname {cosec} ^{-1}xend{aligned}}}

である。逆関数は逆数ではないので注意したい。逆数との混乱を避けるために、逆正弦関数 sin−1x を arcsin x と書く流儀もある。一般に周期関数の逆関数は多価関数になるので、通常は逆三角関数を一価連続なる枝に制限して考えることが多い。たとえば、便宜的に主値と呼ばれる枝を


−π2≤sin−1⁡x≤π20≤cos−1⁡x≤π−π2<tan−1⁡x<π2{displaystyle {begin{aligned}-{frac {pi }{2}}&leq sin ^{-1}xleq {frac {pi }{2}}\0&leq cos ^{-1}xleq pi \-{frac {pi }{2}}&<tan ^{-1}x<{frac {pi }{2}}end{aligned}}}{displaystyle {begin{aligned}-{frac {pi }{2}}&leq sin ^{-1}xleq {frac {pi }{2}}\0&leq cos ^{-1}xleq pi \-{frac {pi }{2}}&<tan ^{-1}x<{frac {pi }{2}}end{aligned}}}

のように選ぶことが多い。またこのとき、制限があることを強調するために、Sin−1x, Arcsin x のように頭文字を大文字にした表記がよく用いられる。



複素関数としての三角関数


exp z, cos z, sin z の級数による定義から、オイラーの公式 exp (iz) = cos z + i sin z を導くことができる。この公式から下記の 2 つの等式


exp⁡(iz)=eiz=cos⁡z+isin⁡z,exp⁡(−iz)=e−iz=cos⁡z−isin⁡z{displaystyle {begin{aligned}exp(iz)&=e^{iz}=cos z+isin z,\exp(-iz)&=e^{-iz}=cos z-isin zend{aligned}}}{begin{aligned}exp(iz)&=e^{iz}=cos z+isin z,\exp(-iz)&=e^{-iz}=cos z-isin zend{aligned}}

が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の指数関数を用いた表現が可能となる。すなわち、


cos⁡z=eiz+e−iz2,sin⁡z=eiz−e−iz2i{displaystyle {begin{aligned}cos z&={frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\sin z&={frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}end{aligned}}}{begin{aligned}cos z&={frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\sin z&={frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}end{aligned}}

が成り立つ。この事実により、級数によらずこの等式をもって複素変数の正弦・余弦関数の定義とすることもある。また、


cos⁡(iz)=e−z+ez2=cosh⁡z,sin⁡(iz)=e−z−ez2i=isinh⁡z{displaystyle {begin{aligned}cos(iz)&={frac {e^{-z}+e^{z}}{2}}=cosh z,\sin(iz)&={frac {e^{-z}-e^{z}}{2i}}=isinh zend{aligned}}}{begin{aligned}cos(iz)&={frac {e^{-z}+e^{z}}{2}}=cosh z,\sin(iz)&={frac {e^{-z}-e^{z}}{2i}}=isinh zend{aligned}}

が成り立つ。ここで cosh z, sinh z は双曲線関数を表す。この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。複素数 z を z = x + iy (x, y ∈ R) と表現すると、加法定理より


cos⁡z=cos⁡(x+iy)=cos⁡xcosh⁡y−isin⁡xsinh⁡y,sin⁡z=sin⁡(x+iy)=sin⁡xcosh⁡y+icos⁡xsinh⁡y{displaystyle {begin{aligned}cos z&=cos(x+iy)=cos xcosh y-isin xsinh y,\sin z&=sin(x+iy)=sin xcosh y+icos xsinh yend{aligned}}}{begin{aligned}cos z&=cos(x+iy)=cos xcosh y-isin xsinh y,\sin z&=sin(x+iy)=sin xcosh y+icos xsinh yend{aligned}}

が成り立つ。


他の三角関数は csc z = 1 / sin z, sec z = 1 / cos z, tan z = sin z / cos z, cot z = cos z / sin z によって定義できる。






  • cos(x + iy) の実部のグラフ







  • cos(x + iy) の虚部のグラフ







  • sin(x + iy) の実部のグラフ







  • sin(x + iy) の虚部のグラフ






球面三角法


詳細は「球面三角法」を参照

球面の三角形 ABC の内角を a, b, c, 各頂点の対辺に関する球の中心角を α, β, γ とするとき、次のような関係が成立する。余弦公式や正弦余弦公式は式の対称性により各記号を入れ替えたものも成立する。



正弦公式

sin a : sin b : sin c = sin α : sin β : sin γ

余弦公式

cos a = −cos b cos c + sin b sin c cos α

余弦公式

cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos a

正弦余弦公式

sin a cos β = cos b sin c − sin b cos c cos α



出典


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  1. ^ ab山口, 格. “三角関数の研究 (PDF)”. 2014年10月6日閲覧。


  2. ^ 内藤, 久資 (1999年). “1999年度後期「Fourier 変換とその応用 (PDF)”. 2014年10月17日閲覧。


  3. ^ 黒田 2002, pp. 176–183.


  4. ^ 高木 2010, pp. 202–206.


  5. ^ 小平 2003, pp. 95–105.


  6. ^ 幡谷泰史; 廣澤史彦. “三角関数と円周率 (PDF)”. 2014年10月7日閲覧。


  7. ^ 瓜生, 等. “三角関数のさまざまな定義 (PDF)”. 2014年10月8日閲覧。


  8. ^ Leff, Lawrence S. (2005). PreCalculus the Easy Way (7th ed.). Barron's Educational Series. p. 296. ISBN 0-7641-2892-2. http://books.google.com/books?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296. 


  9. ^ “面積による不等式からの証明”. 2015年1月20日閲覧。


  10. ^ “曲線の長さによる不等式からの証明 (PDF)”. p. 1. 2015年1月20日閲覧。


  11. ^ 新関章三（元高知大学），矢野 忠（元愛媛大学）. “数学・物理通信 (PDF)”. 2015年1月21日閲覧。


  12. ^ 大矢雅則; 岡部恒治 ほか13名 『新編 数学Ⅲ』 数研出版株式会社、2010年1月10日、改訂版、53頁。ISBN 978-4-410-80166-2。NCID BA89906770。OCLC 676686067。


  13. ^ 飯高茂; 松本幸夫 ほか22名 『数学Ⅲ』 東京書籍株式会社、2008年2月10日、49頁。ISBN 4-487-15513-4。NCID BA71854010。OCLC 76931848。ほか


  14. ^ 川中宣明. “循環論法で証明になっていない (PDF)”. p. 1. 2015年1月18日閲覧。


  15. ^ 杉浦 1980, p. 175.


  16. ^ 三角関数、円周率、曲線の長さ等の定義の仕方は、複数の流儀がある。ここでは杉浦 (1980, pp. 175–185)に従った。




参考文献




  • Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. ISBN 978069105754-5. 

  • 志賀, 浩二 『数の大航海―対数の誕生と広がり』 日本評論社、1999年7月。ISBN 978-4-535-78289-1。

  • 高瀬, 正仁 『古典的難問に学ぶ微分積分』 共立出版、2013年7月。ISBN 978-4-320-11041-0。


  • Vinogradov, Ivan Matveyevich (2004-09-10). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers (revised ed.). Dover. ISBN 978-048643878-8. 

  • 黒川, 信重、小山, 信也 『多重三角関数論講義』 日本評論社、2010年11月8日。ISBN 978-4-535-785557。

  • 杉浦, 光夫 『解析入門I』 東京大学出版会〈基礎数学2〉、1980年。ISBN 978-4-13-062005-5。

  • 黒田, 成俊 『微分積分』 共立出版〈共立講座21世紀の数学 第1巻〉、2002年。ISBN 978-4320015531。

  • 高木, 貞治 『定本 解析概論』 岩波書店、2010年、改訂第3版。ISBN 978-4000052092。

  • 小平, 邦彦 『解析入門I』 岩波書店、2003年、軽装版。ISBN 978-4000051927。



関連項目



  • 正弦定理

  • 余弦定理

  • 正接定理

  • 球面三角法

  • コサイン4乗則


  • ベクトルのなす角 - cos 関数を用いて表現される。

  • ドット積

  • クロス積

  • ベッセル関数

  • sinc関数

  • 指数関数

  • 双曲線関数

  • オイラーの公式


  • 円_(数学) - 正円の三角関数との関係


  • ベジエ曲線 - 三角関数のベジエ曲線による近似


  • テイラー展開 - コンピュータ上での三角関数の実装に使用



外部リンク



  • 三角比の近似値表

  • Weisstein, Eric W. "Trigonometric Functions". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list









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