運動量































運動量
momentum
量記号
p
次元
M L T−1
種類
ベクトル
SI単位
ニュートン秒 (N·s), グローバー (G)
CGS単位
ダイン秒 (dyn·s)
プランク単位
プランク運動量
テンプレートを表示








古典力学


F=ddt(mv){displaystyle {boldsymbol {F}}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(m{boldsymbol {v}})}{boldsymbol {F}}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(m{boldsymbol {v}})
運動の第2法則


歴史（英語版）























表・話・編・歴


運動量（うんどうりょう、英: momentum）とは、初等的には物体の運動の状態を表す物理量で、質量と速度の積として定義される。この意味の運動量は後述する一般化された運動量と区別して、運動学的運動量（あるいは動的運動量、英: kinetic momentum, dynamical momentum）と呼ばれる。また、角運動量 (angular momentum) という運動量とは異なる量と対比する上で、線型運動量 (linear momentum, translational momentum) などと呼ばれることもある。


日常生活において、物体の持つ運動量は、動いている物体の止めにくさとして体感される。つまり、重くて速い物体ほど運動量が大きく、静止させるのに大きな力積が必要になる。


アイザック・ニュートンは運動量の時間的変化と力の関係を運動の第2法則として提示した[1][2]。


解析力学では、上述の定義から離れ、運動量は一般化座標とオイラー＝ラグランジュ方程式を通じて与えられる。この運動量は一般化座標系における一般化速度の対応物として、一般化運動量 (generalized momentum) と呼ばれる。


特にハミルトン形式の解析力学においては、正準方程式を通じて与えられる正準変数の一方を座標と呼び他方を運動量と呼ぶ[3]。この意味の運動量は、他と区別して、正準運動量 (canonical momentum) と呼ばれる。また、正準運動量は、正準方程式において座標の対となるという意味で、共役運動量 (conjugate momentum) と呼ばれる[4]。運動量は、ハミルトン形式の力学では、速度よりも基本的な量であり、ハミルトン形式で記述される通常の量子力学においても重要な役割を果たす。


共役運動量と通常の運動学的運動量の違いが際立つ例として、磁場中を運動する電子の運動の例が挙げられる（#解析力学における運動量も参照）。電磁場中を運動する電子に対してはローレンツ力が働くが、このローレンツ力に対応する一般化されたポテンシャルエネルギーには電子の速度の項があるために、共役運動量はラグランジアンのポテンシャル項に依存した形になる[5]。このとき共役運動量と運動学的運動量は一致しない。また、電磁場中の電子の運動を記述する古典的ハミルトニアンでは、共役運動量の部分がすべて共役運動量からベクトルポテンシャルの寄与を引いたものに置き換わる[5]。




目次






  • 1 概要


  • 2 時間的な変化


  • 3 質点系の運動


  • 4 保存則


  • 5 モーメント


  • 6 解析力学における運動量


    • 6.1 直交座標系


    • 6.2 極座標系


    • 6.3 一般化されたポテンシャル




  • 7 相対性理論


  • 8 量子論


  • 9 対称性との関係


  • 10 脚注


  • 11 参考文献


  • 12 関連項目





概要


運動量は、運動の第2法則において、その時間に対する変化の割合が力と等しい量として導入される。
つまり、運動量 p はニュートンの運動方程式、



dpdt=F(t){displaystyle {frac {d{boldsymbol {p}}}{dt}}={boldsymbol {F}}(t)}{frac {d{boldsymbol {p}}}{dt}}={boldsymbol {F}}(t)



を満たす。力 F はベクトル量であり、運動量もまたベクトル量である。また、定義から明らかなように、運動量は時刻 t の関数として表される量である。


質点の運動量は、質点の速度に比例する。質点の運動量は、質点の速度を v と表し、比例係数を m とすると、



p=mv{displaystyle {boldsymbol {p}}=m{boldsymbol {v}}}{boldsymbol {p}}=m{boldsymbol {v}}



で与えられる。ここで導入された比例係数 m は慣性質量 (inertial mass) と呼ばれ質点の速度の変化し難さを表す。運動量の変化量は力積であるが、運動の間、慣性質量が一定であるとすれば、速度の変化量は力積を慣性質量で割ったものとなる。従って、同じ大きさの力積に対しては、慣性質量が大きいほど速度の変化は小さいものとなる。



時間的な変化


詳細は「力積」を参照

時刻 t0 から t1 の間の物体の運動量の変化量を



Δp(t0;t1)≡p(t1)−p(t0)=∫t0t1dpdtdt{displaystyle Delta {boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})equiv {boldsymbol {p}}(t_{1})-{boldsymbol {p}}(t_{0})=int _{t_{0}}^{t_{1}}{frac {d{boldsymbol {p}}}{dt}},dt}Delta {boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})equiv {boldsymbol {p}}(t_{1})-{boldsymbol {p}}(t_{0})=int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}{frac {d{boldsymbol {p}}}{dt}},dt



とする。
この物体が時刻 t に力 F(t) を受けながら運動していたとすると、運動方程式から運動量の時間変化率 dp/dt は力 F(t) に等しいため、運動量の変化量 Δp は



Δp(t0;t1)=∫t0t1F(t)dt≡Imp{displaystyle Delta {boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})=int _{t_{0}}^{t_{1}}{boldsymbol {F}}(t),dtequiv mathrm {Imp} }Delta {boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})=int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}{boldsymbol {F}}(t),dtequiv {mathrm {Imp}}



となり力 F(t) を時刻 t0 から t1 まで積分したものに等しい。
この力の時間積分は力積（impulse）と呼ばれ、運動量の変化量に等しい。


時間 Δt=t1−t0 で物体が受ける力の時間的な平均は



Fave(t0;t1)≡1Δt∫t0t1F(t)dt{displaystyle {boldsymbol {F}}_{text{ave}}(t_{0};t_{1})equiv {frac {1}{Delta t}}int _{t_{0}}^{t_{1}}{boldsymbol {F}}(t),dt}{boldsymbol {F}}_{{text{ave}}}(t_{0};t_{1})equiv {frac {1}{Delta t}}int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}{boldsymbol {F}}(t),dt



で定義される。力の時間平均 Fave を用いれば力積は



Imp=Δp(t0;t1)=Fave(t0;t1)Δt{displaystyle mathrm {Imp} =Delta {boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})={boldsymbol {F}}_{text{ave}}(t_{0};t_{1})Delta t}{mathrm {Imp}}=Delta {boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})={boldsymbol {F}}_{{text{ave}}}(t_{0};t_{1})Delta t



となる。
特に時間 Δt が充分に短く、力が一定であると見なせる場合には、力積は単に力と時間の積



Imp=Δp=FΔt{displaystyle mathrm {Imp} =Delta {boldsymbol {p}}={boldsymbol {F}},Delta t}{mathrm {Imp}}=Delta {boldsymbol {p}}={boldsymbol {F}},Delta t



として表すことができる。


つまり、物体に一定の力を加えて、物体の運動量の変化を大きくするには、力が作用する時間を長くすればよい。逆に、大きな力を加えたとしても、それがごく短期間のものであれば、物体に与える力積は小さくなる。



質点系の運動


運動量は加法的な量であり、系の全運動量は部分の運動量の和で表される。


質点系の全運動量 P は、質点 i = 1, 2, 3,... の運動量 pi = mivi = midri/dt とすれば



P(t)=∑ipi(t)=∑imidridt=ddt(∑imiri(t)){displaystyle {boldsymbol {P}}(t)=sum _{i}{boldsymbol {p}}_{i}(t)=sum _{i}m_{i},{frac {d{boldsymbol {r}}_{i}}{dt}}={frac {d}{dt}}left(sum _{i}m_{i},{boldsymbol {r}}_{i}(t)right)}{boldsymbol {P}}(t)=sum _{i}{boldsymbol {p}}_{i}(t)=sum _{i}m_{i},{frac {d{boldsymbol {r}}_{i}}{dt}}={frac {d}{dt}}left(sum _{i}m_{i},{boldsymbol {r}}_{i}(t)right)



となる。
ここで質点系の全質量 M と質量中心 rg を



M=∑imi, rg(t)=1M∑imiri(t){displaystyle M=sum _{i}m_{i},~{boldsymbol {r}}_{g}(t)={frac {1}{M}}sum _{i}m_{i},{boldsymbol {r}}_{i}(t)}M=sum _{i}m_{i},~{boldsymbol {r}}_{g}(t)={frac {1}{M}}sum _{i}m_{i},{boldsymbol {r}}_{i}(t)



により導入すれば



P(t)=Mdrgdt{displaystyle {boldsymbol {P}}(t)=M{frac {d{boldsymbol {r}}_{g}}{dt}}}{boldsymbol {P}}(t)=M{frac {d{boldsymbol {r}}_{g}}{dt}}



となる。
即ち、質点系の全運動量は、質量中心に全質量が集中していると考えたときの運動量に等しい。


質点 i の運動量 pi の時間変化は、質点 i に作用する力 Fi に等しく



dpidt=Fi{displaystyle {frac {d{boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}={boldsymbol {F}}_{i}}{frac {d{boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}={boldsymbol {F}}_{i}



を満たす。
ここで質点 i に作用する力は、質点系の外部から作用する外力と、系に含まれる他の質点との内部相互作用に分けられる。
質点 i に作用する外力を fi、質点 j から質点 i に作用する内力を fij とすれば



Fi=fi+∑jfij{displaystyle {boldsymbol {F}}_{i}={boldsymbol {f}}_{i}+sum _{j}{boldsymbol {f}}_{ij}}{boldsymbol {F}}_{i}={boldsymbol {f}}_{i}+sum _{j}{boldsymbol {f}}_{{ij}}



と表される。
ただし、質点 i から質点 i 自身に作用する力は fii = 0 とする。
全運動量の時間変化を考えると



dPdt=∑idpidt=∑ifi+∑i,jfij{displaystyle {frac {d{boldsymbol {P}}}{dt}}=sum _{i}{frac {d{boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}=sum _{i}{boldsymbol {f}}_{i}+sum _{i,j}{boldsymbol {f}}_{ij}}{frac {d{boldsymbol {P}}}{dt}}=sum _{i}{frac {d{boldsymbol {p}}_{i}}{dt}}=sum _{i}{boldsymbol {f}}_{i}+sum _{{i,j}}{boldsymbol {f}}_{{ij}}



となる。
ここで運動の第3法則から、質点 j から質点 i に作用する力 fij と
質点 i から質点 j に作用する力 fji は大きさが等しく符号が逆なので



fij=−fji, fij+fji=0{displaystyle {boldsymbol {f}}_{ij}=-{boldsymbol {f}}_{ji},~{boldsymbol {f}}_{ij}+{boldsymbol {f}}_{ji}=0}{boldsymbol {f}}_{{ij}}=-{boldsymbol {f}}_{{ji}},~{boldsymbol {f}}_{{ij}}+{boldsymbol {f}}_{{ji}}=0



が成り立ち、内力を全て足し合わせたものは 0 となる。
従って



dPdt=Md2rgdt2=∑ifi{displaystyle {frac {d{boldsymbol {P}}}{dt}}=M{frac {d^{2}{boldsymbol {r}}_{g}}{dt^{2}}}=sum _{i}{boldsymbol {f}}_{i}}{frac {d{boldsymbol {P}}}{dt}}=M{frac {d^{2}{boldsymbol {r}}_{g}}{dt^{2}}}=sum _{i}{boldsymbol {f}}_{i}



となり、質点系の全運動量の時間変化は作用する外力の総和と等しい。
これは、重力などの単純な外力の下では質量中心の運動が相対位置の運動から分離できることを意味している。



保存則


詳細は「運動量保存の法則」を参照

質点系の運動において、特に作用する外力が釣り合っている場合は



dPdt=ddt(∑ipi(t))=0{displaystyle {frac {d{boldsymbol {P}}}{dt}}={frac {d}{dt}}left(sum _{i}{boldsymbol {p}}_{i}(t)right)=0}{frac {d{boldsymbol {P}}}{dt}}={frac {d}{dt}}left(sum _{i}{boldsymbol {p}}_{i}(t)right)=0




P(t)=∑ipi(t)=const.{displaystyle {boldsymbol {P}}(t)=sum _{i}{boldsymbol {p}}_{i}(t)={text{const.}}}{boldsymbol {P}}(t)=sum _{i}{boldsymbol {p}}_{i}(t)={text{const.}}



が成り立つ。
つまり、この系では系の全運動量は時間的に変化しない。これは運動量保存の法則 (law of conservation of momentum) と呼ばれる。運動量保存の法則は、ニュートン力学においては作用反作用の法則から導かれるが、運動量保存則自体は作用反作用の法則より一般的に成り立つ法則である[6]。たとえば、電磁気学などの場の理論では近接作用論の立場をとり、遠隔作用論的な法則である作用反作用の法則をその基礎には置かない。しかしながら、電磁気学においても運動量保存の法則は成り立ち、それに伴い運動量の定義も拡張される[7]。



モーメント


詳細は「角運動量」を参照

物理学において、ベクトルで表される物理量とある原点に対する位置の外積をモーメントという。運動量のモーメントは、角運動量 (angular momentum) と呼ばれ、次のように定義される。



L:=r×p.{displaystyle {boldsymbol {L}}:={boldsymbol {r}}times {boldsymbol {p}}.}{boldsymbol {L}}:={boldsymbol {r}}times {boldsymbol {p}}.



古典的な角運動量の大きさは、位置ベクトル r の大きさと、運動量 p の r に直交する成分の大きさの積として表される。2 つのベクトル r, p が載っている平面上の、2 つのベクトル r, p の間の角度を θ とすれば、角運動量の大きさは次のように表される。



|L|=|r||p⊥|=|r||p|sin⁡θ.{displaystyle left|{boldsymbol {L}}right|=left|{boldsymbol {r}}right|left|{boldsymbol {p}}_{perp }right|=left|{boldsymbol {r}}right|left|{boldsymbol {p}}right|sin theta .}left|{boldsymbol {L}}right|=left|{boldsymbol {r}}right|left|{boldsymbol {p}}_{perp }right|=left|{boldsymbol {r}}right|left|{boldsymbol {p}}right|sin theta .



解析力学においては、角運動量は角度に対応した一般化運動量として得られる。


角運動量は、ニュートンの運動方程式と同様な方程式、



dLdt=N{displaystyle {frac {d{boldsymbol {L}}}{dt}}={boldsymbol {N}}}{frac {d{boldsymbol {L}}}{dt}}={boldsymbol {N}}



を満たす。ここで N := r × F は物体に作用する力のモーメントである。



解析力学における運動量


解析力学において、一般化座標 qi に対応する一般化運動量 (generalized momentum) pi はその系のラグランジアン L(q, ·q) の一般化速度 ·qi による偏微分として定義される。



pi:=∂L(q,q˙)∂q˙i{displaystyle p_{i}:={frac {partial L({boldsymbol {q}},{dot {boldsymbol {q}}})}{partial {dot {q}}_{i}}}}{displaystyle p_{i}:={frac {partial L({boldsymbol {q}},{dot {boldsymbol {q}}})}{partial {dot {q}}_{i}}}}



ここで、ラグランジアン L(q, ·q) は、運動エネルギー K、ポテンシャル U の差として定義される。



L=K−U.{displaystyle L=K-U.}L=K-U.



ハミルトン形式の力学では、一般化速度の代わりに一般化運動量が力学変数として用いられる。ハミルトニアン H(q, p) は、ラグランジアン L(q, ·q) のルジャンドル変換として定義される[8]。ルジャンドル変換[9]



H(q,p):=maxq˙∈D{q˙⋅p−L(q,q˙)}{displaystyle H({boldsymbol {q}},{boldsymbol {p}}):=max _{{dot {boldsymbol {q}}}in D}left{{dot {boldsymbol {q}}}cdot {boldsymbol {p}}-L({boldsymbol {q}},{dot {boldsymbol {q}}})right}}H({boldsymbol {q}},{boldsymbol {p}}):=max _{{{dot {{boldsymbol q}}}in D}}left{{dot {{boldsymbol q}}}cdot {boldsymbol {p}}-L({boldsymbol {q}},{dot {{boldsymbol q}}})right}



の右辺を最大化する ·q を考えると、ルジャンドル変換をする領域 D の中でラグランジアンが凸でありかつ充分滑らかなら、そのような ·q は以下の関係を満たす。



∂∂q˙(q˙⋅p−L(q,q˙))=0.{displaystyle {frac {partial }{partial {dot {boldsymbol {q}}}}}left({dot {boldsymbol {q}}}cdot {boldsymbol {p}}-L({boldsymbol {q}},{dot {boldsymbol {q}}})right)={boldsymbol {0}}.}{frac {partial }{partial {dot {{boldsymbol q}}}}}left({dot {{boldsymbol q}}}cdot {boldsymbol {p}}-L({boldsymbol {q}},{dot {{boldsymbol q}}})right)={boldsymbol {0}}.



これはすなわち、ハミルトニアンの変数 p が一般化運動量に等しいことを意味する。



直交座標系


3 次元の直交座標系 x = x^x + y^y + z^z においては、ポテンシャルが速度 ·x に依存しないときには



L(x,x˙)=m2(x˙2+y˙2+z˙2)−U(x){displaystyle L({boldsymbol {x}},{dot {boldsymbol {x}}})={frac {m}{2}}({dot {x}}^{2}+{dot {y}}^{2}+{dot {z}}^{2})-U({boldsymbol {x}})}L({boldsymbol {x}},{dot {{boldsymbol {x}}}})={frac {m}{2}}({dot {x}}^{2}+{dot {y}}^{2}+{dot {z}}^{2})-U({boldsymbol {x}})




pα=∂L∂α˙=mα˙,α=x,y,z{displaystyle p_{alpha }={frac {partial L}{partial {dot {alpha }}}}=m{dot {alpha }},quad alpha =x,y,z}{displaystyle p_{alpha }={frac {partial L}{partial {dot {alpha }}}}=m{dot {alpha }},quad alpha =x,y,z}



であり、このとき一般化運動量 p は質量と速度の積となっている。これはニュートン形式の運動量に一致する。



極座標系


一般化座標として二次元極座標 x = (r, θ) を選ぶと、ラグランジアン及び r, θ に共役な運動量 pr, pθ はそれぞれ



L(r,θ,r˙,θ˙)=m2(r˙2+r2θ˙2)−U(x){displaystyle L(r,theta ,{dot {r}},{dot {theta }})={frac {m}{2}}({dot {r}}^{2}+r^{2}{dot {theta }}^{2})-U({boldsymbol {x}})}L(r,theta ,{dot {r}},{dot {theta }})={frac {m}{2}}({dot {r}}^{2}+r^{2}{dot {theta }}^{2})-U({boldsymbol {x}})




pr=∂L∂r˙=mr˙{displaystyle p_{r}={frac {partial L}{partial {dot {r}}}}=m{dot {r}}}{displaystyle p_{r}={frac {partial L}{partial {dot {r}}}}=m{dot {r}}}




pθ=∂L∂θ˙=mr2θ˙{displaystyle p_{theta }={frac {partial L}{partial {dot {theta }}}}=mr^{2}{dot {theta }}}{displaystyle p_{theta }={frac {partial L}{partial {dot {theta }}}}=mr^{2}{dot {theta }}}



となる。ここで、θ に共役な運動量は角運動量となっている。また r の共役運動量は動径方向への運動量を表している。



一般化されたポテンシャル


ポテンシャルが速度に依存するときもある。このとき直交座標系における一般化運動量はニュートン力学におけるものとは異なっている。



pi=∂(K(v)−U(x,v))∂vi≠∂K(v)∂vi=mvi.{displaystyle p_{i}={frac {partial (K({boldsymbol {v}})-U({boldsymbol {x}},{boldsymbol {v}}))}{partial v_{i}}}neq {frac {partial K({boldsymbol {v}})}{partial v_{i}}}=mv_{i}.}p_{i}={frac {partial (K({boldsymbol {v}})-U({boldsymbol {x}},{boldsymbol {v}}))}{partial v_{i}}}neq {frac {partial K({boldsymbol {v}})}{partial v_{i}}}=mv_{i}.



このような系の例として、電磁場中を運動する電荷を持つ粒子の非相対論的な運動が挙げられる。
この系のラグランジアンは具体的に



L(x,v)=m2v2−eϕ(x)+ev⋅A(x){displaystyle L({boldsymbol {x}},{boldsymbol {v}})={frac {m}{2}}{boldsymbol {v}}^{2}-ephi ({boldsymbol {x}})+e{boldsymbol {v}}cdot {boldsymbol {A}}({boldsymbol {x}})}L({boldsymbol {x}},{boldsymbol {v}})={frac {m}{2}}{boldsymbol {v}}^{2}-ephi ({boldsymbol {x}})+e{boldsymbol {v}}cdot {boldsymbol {A}}({boldsymbol {x}})



である。ここで e は物体の持つ電荷、φ はスカラーポテンシャル、A はベクトルポテンシャルである。このとき、共役運動量は



p=mv+eA{displaystyle {boldsymbol {p}}=m{boldsymbol {v}}+e{boldsymbol {A}}}{boldsymbol {p}}=m{boldsymbol {v}}+e{boldsymbol {A}}



となる。このときの共役運動量は質量と速度の積の普通の運動量に、電磁場との相互作用による eA の項が加わる。
このとき、ハミルトニアンは、ルジャンドル変換



H(x,p)=v⋅p−L(x,v){displaystyle H({boldsymbol {x}},{boldsymbol {p}})={boldsymbol {v}}cdot {boldsymbol {p}}-L({boldsymbol {x}},{boldsymbol {v}})}H({boldsymbol {x}},{boldsymbol {p}})={boldsymbol {v}}cdot {boldsymbol {p}}-L({boldsymbol {x}},{boldsymbol {v}})



より、



H(x,p)=(p−eA(x))22m+eϕ(x){displaystyle H({boldsymbol {x}},{boldsymbol {p}})={frac {left({boldsymbol {p}}-e{boldsymbol {A}}({boldsymbol {x}})right)^{2}}{2m}}+ephi ({boldsymbol {x}})}H({boldsymbol {x}},{boldsymbol {p}})={frac {left({boldsymbol {p}}-e{boldsymbol {A}}({boldsymbol {x}})right)^{2}}{2m}}+ephi ({boldsymbol {x}})



となる。ベクトルポテンシャルのない系と比べると、形式的には共役運動量 p を運動学的な運動量 p − eA に置き換えたものとなっている[5]。



相対性理論


相対性理論において運動量とエネルギーはミンコフスキー空間における四元ベクトルを為し、


pμ=mdxμdτ{displaystyle p^{mu }=m{frac {dx^{mu }}{dtau }}}p^{mu }=m{frac {dx^{mu }}{dtau }}

である（m は質量、τ は固有時間）。これの空間成分は


pj=mdxjdtdtdτ=mvj1−v2c2{displaystyle p_{j}=m{frac {dx_{j}}{dt}}{frac {dt}{dtau }}={frac {mv_{j}}{sqrt {1-{tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}p_{j}=m{frac {dx_{j}}{dt}}{frac {dt}{dtau }}={frac {mv_{j}}{{sqrt {1-{tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

となる。非相対論的極限 v/c → 0 において前述の運動量（質量と速度の積）に一致する。


運動量とエネルギーは


−m2c2=−E2c2+p→2{displaystyle -m^{2}c^{2}=-{frac {E^{2}}{c^{2}}}+{vec {p}}^{2}}-m^{2}c^{2}=-{frac {E^{2}}{c^{2}}}+{vec {p}}^{2}

の関係を満たしている。運動量が 0 の場合は有名な E = mc2 の式になっている。



量子論


詳細は「運動量演算子」を参照

光（あるいは電磁波）は波であるが、実験によりエネルギーと運動量を持つ粒子でもあると考えられている。
そのエネルギーと運動量は



E=hν=ℏω{displaystyle E=hnu =hbar omega }E=hnu =hbar omega

p=hνc=hλ=ℏk{displaystyle p={frac {hnu }{c}}={frac {h}{lambda }}=hbar k}p={frac {hnu }{c}}={frac {h}{lambda }}=hbar k


である。（ここで h はプランク定数、ν は振動数、ω = 2πν は角振動数、c は真空中の光速、λ は波長、k は波数である）


前述のエネルギーと運動量の関係式にこの関係を入れると、ω = ck からこの粒子の質量は 0 であることが分かる。この質量 0 の粒子を光子という。


量子力学では、上記の古典論的運動量 p→{displaystyle {vec {p}}}{vec {p}} は、波動関数 ψ(t,x→)=ψ(t,x,y,z){displaystyle psi (t,{vec {x}})=psi (t,x,y,z)}psi (t,{vec {x}})=psi (t,x,y,z) に対する、


p→→ℏi∇→=(ℏi∂∂x,ℏi∂∂y,ℏi∂∂z){displaystyle {vec {p}}rightarrow {frac {hbar }{i}}{vec {nabla }}=left({frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}},{frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial y}},{frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial z}}right)}{vec {p}}rightarrow {frac {hbar }{i}}{vec {nabla }}=left({frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}},{frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial y}},{frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial z}}right)

という演算子であるとみなされる。ここに、i{displaystyle ,i},i は虚数単位、∇{displaystyle ,nabla },nabla はナブラである。


或いはエネルギーとまとめて四元ベクトルで表すと、


pμ→ℏi∂∂xμ{displaystyle p_{mu }rightarrow {frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x^{mu }}}}p_{mu }rightarrow {frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x^{mu }}}

である。これらは対応原理と呼ばれ、解析力学における作用積分 S{displaystyle ,S},S の汎関数微分が


δSδxμ=pμ{displaystyle {frac {delta S}{delta x^{mu }}}=p_{mu }}{frac {delta S}{delta x^{mu }}}=p_{mu }

であることなどから類推された。


また、正準量子化という方法によれば、位置と運動量は正準交換関係



[xμ,pν]=iℏδνμ{displaystyle [x^{mu },p_{nu }]=ihbar delta _{nu }^{mu }}[x^{mu },p_{nu }]=ihbar delta _{nu }^{mu }

[xμ,xν]=0,[pμ,pν]=0{displaystyle [x^{mu },x^{nu }]=0,,,[p_{mu },p_{nu }]=0}[x^{mu },x^{nu }]=0,,,[p_{mu },p_{nu }]=0


を満たす物理量として量子化される。



対称性との関係


運動量は空間の一様性（並進対称性）に対応する保存量である。
時間の一様性に対応するエネルギー、空間の等方性に対応する角運動量とともに、基本的な物理量である[10]。


「ネーターの定理」および「ポアンカレ対称性」も参照


脚注


[ヘルプ]




  1. ^ 松田 1993, p. 21.


  2. ^ Newton 1729, Axioms, or Laws of Motion; Law II.


  3. ^ 須藤 2008, pp. 42–43,48–51, §5 ハミルトン形式と正準変換.


  4. ^ 須藤 2008, pp. 42,51, §5 ハミルトン形式と正準変換.

  5. ^ abc須藤 2008, pp. 202–204, 付録 A 電磁場の古典論.


  6. ^ 砂川 1987, p. 234, 第 5 章 §2 電磁場のエネルギーと運動量.


  7. ^ 砂川 1987, pp. 156–160; 234–240, 第 3 章 §5 定常電流間に作用する力; 第 5 章 §2 電磁場のエネルギーと運動量.


  8. ^ 須藤 2008, pp. 45–47, 5.2 ルジャンドル変換.


  9. ^ 田崎 2000, pp. 259–270; 270–278, 付録 G. 凸関数; H. Legendre 変換.


  10. ^ ランダウ & リフシッツ 2008.




参考文献





  •  Newton, Isaac (1729). The Mathematical Principles of Natural Philosophy. translated by Andrew Motte (English ed.). - ウィキソース. 

  • 松田, 哲 『力学』 丸善〈パリティ物理学コース〉、1993年。

  • ランダウ, L.D.、リフシッツ, E.M. 『力学・場の理論 : ランダウ＝リフシッツ物理学小教程』 水戸巌・恒藤敏彦・廣重徹訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2008年。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"""""""'""'"}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}
    ISBN 978-4-480-09111-6。

  • 須藤, 靖 『解析力学・量子論』 東京大学出版会、2008年。
    ISBN 978-4-13-062610-1。

  • 砂川, 重信 『電磁気学』 岩波書店〈物理テキストシリーズ 4〉、1987年、新装版。
    ISBN 4-00-007744-9。

  • 田崎, 晴明 『熱力学 現代的な視点から』 培風館、2000年4月12日、初版。
    ISBN 978-4-563-02432-1。



関連項目





ウィキメディア・コモンズには、運動量に関連するカテゴリがあります。


  • 運動量保存の法則

  • 角運動量保存の法則

  • 角運動量

  • 慣性

  • 速度

  • 加速度

  • エネルギー・運動量テンソル

  • 結晶運動量







  • 表

  • 話

  • 編

  • 歴


古典力学のSI単位















































































































線形・直線運動の量 角度・回転運動の量
次元 — L L2
 次元 — — —
T
時間: t
s
absement: A
m s（英語版）
 T
時間: t
s
—
距離: d, 位置: r, s, x, 変位
m
面積: A
m2
 —
角度: θ, 角変位（英語版）: θ
rad
 立体角: Ω
rad2, sr
T−1
周波数: f
s−1, Hz
速さ（速度の大きさ）: v, 速度: v
m s−1
動粘度: ν,
比角運動量（英語版）: h
m2 s−1
 T−1
周波数: f
s−1, Hz
 角速度（の大きさ）: ω, 角速度: ω
rad s−1
T−2
加速度: a
m s−2
 T−2
角加速度: α
rad s−2
T−3
躍度: j
m s−3
 T−3
角躍度: ζ
rad s−3
M
質量: m
kg
 M L2
慣性モーメント: I
kg m2
M T−1
運動量: p, 力積: J
kg m s−1, N s（英語版）
作用: 𝒮, actergy: ℵ
kg m2 s−1, J s（英語版）
 M L2 T−1
角運動量: L, 角力積: ΔL
kg m2 s−1
 作用: 𝒮, actergy: ℵ
kg m2 s−1, J s
M T−2
力: F, 重さ: Fg
kg m s−2, N
エネルギー: E, 仕事: W
kg m2 s−2, J
 M L2 T−2
トルク: τ, 力のモーメント: M
kg m2 s−2, N m
 エネルギー: E, 仕事: W
kg m2 s−2, J
M T−3
yank: Y
kg m s−3, N s−1
仕事率: P
kg m2 s−3, W
 M L2 T−3
rotatum: P
kg m2 s−3, N m s−1
 仕事率: P
kg m2 s−3, W








-

Popular posts from this blog

冬

Image
季節による積雪の変化 冬 （ふゆ）は、四季の一つであり、一年の中で最も寒い期間・季節を指す。二十四節気や旧暦のように、一年中で最も太陽の高度が低く夜が長い期間を指すこともある。 北半球では冬至後の1月-2月頃に気温が低いことが多く、南半球では夏至後の7月‐8月頃にあたる。 日本の気象庁では一日の日最低気温が0℃以下の日を 冬日 （ふゆび）、また、日最高気温が0℃以下の日を 真冬日 （まふゆび）と呼んでいる。このような日は1月を中心に前後の毎年12月から翌年3月頃にかけて発生するから（ただし、年や地域によっては、11月・4月でも生じる場合もある）、この時期のあたりが冬の範囲に入る。 冬が特別・特有とされる物（特に収穫物）に付いては旬#冬を参照。 目次 1 定義 2 気候 3 生物 3.1 植物 3.2 動物 4 冬の行事 5 天文・自然 6 比喩的な用法 7 冬を題材にした作品 7.1 文学 7.2 音楽 7.2.1 クラシック 7.2.2 童謡 7.2.3 ポピュラー系 8 関連項目 定義 地球と太陽の光の模式図。この図では北半球が冬となる。 北半球が冬のときは南半球は太陽高度が高くなるため夏となり、南半球が冬のときは同様に北半球は夏となる。 社会通念・気象学では1月・2月・12月。たとえば「暖冬」「厳冬」などはこの3か月の平均気温で判断する。 寒候年・1年間の間で1月、2月、12月とすると1シーズンとしての冬を評価できない。そのため1月、2月を含む年をそのシーズンで括る。たとえば、「2009年の冬」といった場合、2008年の12月、2009年の1月、2月である。また、「2008/2009年冬」という書き方をする。初雪・終雪の日など11月以前、3月以降になることのあるようなものもこの定義による。 二十四節気に基づく節切りでは立冬から立春の前日まで。 旧暦による月切りでは十月・十一月・十二月。上に近いが、最大半月ずれる。 年度では1月・2月・3月。英語ではこの3か月をwinter quarterと呼ぶ。 天文学上は冬至から春分まで。ここでの「冬至」「春...
Read more

浄心駅

Image
浄心駅 浄心駅5番出口（2010年3月） じょうしん Joshin ◄ T03 庄内通 (1.4km) (0.8km) 浅間町 T05 ► 所在地 名古屋市西区城西四丁目3208 愛知県の地図を表示 名古屋市の地図を表示 北緯35度11分32秒 東経136度53分27秒 駅番号 ○ T04 所属事業者 名古屋市交通局 （名古屋市営地下鉄） 所属路線 鶴舞線 [1] キロ程 4.1km（上小田井起点） 駅構造 地下駅 ホーム 2面2線 乗車人員 -統計年度- 7,116人/日（降車客含まず） -2017年- 開業年月日 1981年（昭和56年）11月27日 [1] テンプレートを表示 浄心駅 （じょうしんえき）は、愛知県名古屋市西区城西4丁目にある、名古屋市営地下鉄鶴舞線の駅である。駅番号は T04 。 運行上の拠点であり乗務員の交代が当駅で行われる他、上り最終電車のみ当駅止まりとなる（翌朝当駅から上小田井駅へ回送し、上小田井駅発の列車となる）。かつては日中にも当駅起終点の列車が1往復設定されていた。 目次 1 歴史 2 駅構造 2.1 のりば 3 駅周辺 4 バス路線 5 隣の駅 6 脚注 7 関連項目 8 外部リンク 歴史 1981年（昭和56年）11月27日 - 当駅 - 伏見間の延伸に際し開業 [1] 。 1984年（昭和59年）9月6日 - 庄内緑地公園 - 当駅間の開業に伴い途中駅となる [1] 。 駅構造 浄心駅ホーム 相対式ホーム2面2線を有する地下駅。1番ホームには東改札口、2番ホームには西改札口がそれぞれあり、両ホームは線路の下を通る連絡通路でつながっている。改札外では東西それぞれのコンコースをつなぐ通路は無く、分断されている。 1番又は2番出入り口から入り階段を降りると1番ホーム（赤池・豊田市方面）にしか行けず、4～6番出入り口から入り階段を降りると2番ホーム（上小田井・犬山方面）にしか行くことができない。 よって、例えば2番ホームで降りて...
Read more

カンタス航空

Image
カンタス航空 Qantas Airways IATA QF [1] ICAO QFA コールサイン Qantas 法人番号 1700150004605 設立 1920年 ハブ空港 キングスフォード・スミス国際空港 メルボルン空港 焦点空港 香港国際空港 シンガポール・チャンギ国際空港 パース空港 ブリスベン空港 アデレード空港 マイレージサービス Frequent Flyer 会員ラウンジ Qantas Club 航空連合 ワンワールド 保有機材数 213機 (147機発注中) 就航地 144都市 (39カ国) 親会社 Qantas Airways Limited 本拠地 オーストラリア ニューサウスウェールズ州シドニー 代表者 Alan Joyce (CEO) Leigh Clifford (会長) 外部リンク qantas.com テンプレートを表示 カンタス航空本社 (Qantas Building A) カンタス航空 （カンタスこうくう、英語: Qantas Airways Limited ）は、オーストラリアおよび南半球最大手の航空会社。 オーストラリアでのQantasの発音は、 Quantas ( [ˈkwɒntəs] [2] [3] [4] 、 クウォンタス ) のように発音される。 目次 1 概要 2 歴史 2.1 設立 2.2 第二次世界大戦 2.3 第二次世界大戦後 2.4 拡大 2.5 現在 3 就航都市 4 保有機材 4.1 特別塗装機 5 マイレージサービス 6 機内サービス 6.1 広報活動 6.2 新ユニフォーム 7 事故及び故障 8 「オーストラリア・アジア航空」 9 補足 10 関連項目 11 脚注 12 外部リンク 概要 カンタス航空はオーストラリアのナショナルフラッグの航空会社であり、その機材数、国際便と国内便の就航都市数...
Read more