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La sezione d'urto è una quantità adoperata per descrivere un processo d'interazione tra particelle, come la diffusione o l'assorbimento, quantificando la probabilità che uno stato iniziale di particella risulti trasformato, a seguito dell'evento d'interazione, in un nuovo stato. Ha le dimensioni di un'area, ed è abitualmente misurata in barn (1 b=10−24 cm2{displaystyle 1 mathrm {b} =10^{-24} mathrm {cm} ^{2}}) o suoi sottomultipli.

La sezione d'urto, indicata spesso con σ{displaystyle sigma }, è una grandezza intrinseca del singolo processo. Tuttavia la si può pensare, in analogia con la fisica classica, come l'area, misurata attorno ad una particella bersaglio, all'interno della quale la presenza di una seconda particella genera fenomeni di interazione tra i due corpi. In questo senso la sezione d'urto può essere interpretata come l'area "efficace" di un determinato processo di diffusione (scattering).

Gran parte degli esperimenti in fisica nucleare avviene per bombardamento di un bersaglio fisso (o targhetta, anglismo dall'inglese target) tramite un fascio di particelle. I dati sulla diffusione dei proiettili permettono di risalire alla forma del bersaglio, del proiettile e al tipo di interazione presente tra di essi. La misura di queste forme può avvenire grazie allo studio della sezione d'urto, che esprime la probabilità che il processo di scattering venga rilevato ad una fissata energia del fascio di particelle incidente.

Definizione |

Si consideri un fascio di N0{displaystyle N_{0}} particelle, il cui flusso, ovvero il numero di particelle incidenti per unità di tempo e di superficie, è dato da:

Φ=N0ΔSΔt=N0ΔxΔSΔtΔx=N0vV=niv{displaystyle Phi ={frac {N_{0}}{Delta SDelta t}}={frac {N_{0}Delta x}{Delta SDelta tDelta x}}={frac {N_{0}v}{V}}=n_{i}v}

dove ΔS{displaystyle Delta S} è l'area della superficie del bersaglio, Δt{displaystyle Delta t} l'intervallo di tempo considerato, V{displaystyle V} il volume, v{displaystyle v} la velocità delle particelle incidenti e ni{displaystyle n_{i}} la loro densità volumica.

Si consideri poi un bersaglio di spessore Δx{displaystyle Delta x} e composto da Nb{displaystyle N_{b}} particelle bersaglio, delle quali

NbΔS=NbΔxV=nbΔx{displaystyle {frac {N_{b}}{Delta S}}={frac {N_{b}Delta x}{V}}=n_{b}Delta x}

sono quelle investite dal fascio per unità di superficie, dove nb{displaystyle n_{b}} è la densità volumica di particelle del bersaglio.

La sezione d'urto è la quantità σ{displaystyle sigma } definita dalla relazione

nbσΔx=−ΔΦΦ{displaystyle n_{b}sigma Delta x=-{frac {Delta Phi }{Phi }}}

dove ΔΦ{displaystyle Delta Phi } è la variazione del flusso dopo essersi scontrato con il bersaglio, anche chiamata "attenuazione".

L'unità di misura della sezione d'urto è il barn, mentre nelle unità naturali (ovvero con c = ħ = 1) si misura in [eV−2].{displaystyle [{text{eV}}^{-2}].}

La legge che descrive la variazione del flusso è

Φ(x)=Φ0e−nbσx{displaystyle Phi (x)=Phi _{0}e^{-n_{b}sigma x}}

ed è inoltre possibile definire il coefficiente di assorbimento

μ=σr⋅nb{displaystyle mu =sigma _{r}cdot n_{b}}

e la lunghezza di attenuazione

λ=1μ{displaystyle lambda ={frac {1}{mu }}}

Se si considerano le interazioni tra le particelle del fascio con il bersaglio, si ha la relazione:

dndt=I0nTσS{displaystyle {frac {mathrm {d} n}{mathrm {d} t}}=I_{0}n_{T}{frac {sigma }{S}}}

dove dn/dt è il numero di interazioni al secondo, I0{displaystyle I_{0}} il numero di particelle incidenti per secondo, nT{displaystyle n_{T}} il numero di particelle del bersaglio e S la sezione del fascio.

Tale relazione si può scrivere introducendo la densità ρT{displaystyle rho _{T}} del bersaglio:

dndt=I0ρTσdz{displaystyle {frac {mathrm {d} n}{mathrm {d} t}}=I_{0}rho _{T}sigma mathrm {d} z}

si ottiene che il numero di interazioni è:

dn=ρTσdzI0dt=ρTσdzN0{displaystyle mathrm {d} n=rho _{T}sigma mathrm {d} zI_{0}mathrm {d} t=rho _{T}sigma mathrm {d} zN_{0}}

dove N0{displaystyle N_{0}} è l'integrale nel tempo dell'intensità del fascio, e rappresenta il numero totale di particelle del fascio.

Sezione d'urto differenziale |

Si supponga che le particelle deviate dal bersaglio vengano rivelate in un angolo solido (sotteso da una corona sferica di larghezza infinitesimale):

dΩ=2πsin⁡θdθ{displaystyle mathrm {d} Omega =2pi sin theta mathrm {d} theta }

Le particelle diffuse nell'unità di tempo nell'angolo solido sono

dNf˙=Nf˙dΩ=ΦNbdσ{displaystyle mathrm {d} {dot {N_{f}}}={dot {N_{f}}}mathrm {d} Omega =Phi N_{b}mathrm {d} sigma }

dove l'indice f indica lo stato finale.
La sezione d'urto differenziale è data da

dσdΩ=Nf˙ΦNb{displaystyle {frac {mathrm {d} sigma }{mathrm {d} Omega }}={frac {dot {N_{f}}}{Phi N_{b}}}}

Che è il rapporto tra il numero di particelle diffuse nell'unità di tempo e la luminosità

L=ΦNb{displaystyle mathrm {L} =Phi N_{b}}

Lo stato finale è caratterizzato da diverse variabili; se per esempio si conosce l'impulso delle particelle del fascio incidente nello stato finale, la sezione d'urto sarà data dall'integrale sull'intervallo delle variabili nello stato finale, cioè

σ=∫fdσdpdp′{displaystyle sigma =int _{f}{frac {mathrm {d} sigma }{mathrm {d} p}}mathrm {d} p'}

Nel paragrafo precedente si è visto che

dn(θ)=N0ρTdzdσ{displaystyle mathrm {d} n(theta )=N_{0}rho _{T}mathrm {d} zmathrm {d} sigma }

Tale relazione si può scrivere:

dn(θ)dΩ=N0ρTdzdσdΩ{displaystyle mathrm {d} n(theta )mathrm {d} Omega =N_{0}rho _{T}mathrm {d} zmathrm {d} sigma mathrm {d} Omega }

che, considerando un solo nucleo e introducendo la densità del fascio n0{displaystyle n_{0}}=N/S, diventa:

dn(θ)=n0dσdΩdΩ{displaystyle mathrm {d} n(theta )=n_{0}{frac {mathrm {d} sigma mathrm {d} Omega }{mathrm {d} Omega }}}

Dal momento che le particelle deflesse ad un angolo θ{displaystyle theta } entro l'angolo solido dΩ{displaystyle dOmega } sono quelle che attraversano
l'anello

dS=2πbdb{displaystyle mathrm {d} S=2pi bmathrm {d} b}

si ha che:

dn(θ)=n0dS=n0dσdΩdΩ{displaystyle mathrm {d} n(theta )=n_{0}mathrm {d} S=n_{0}{frac {mathrm {d} sigma mathrm {d} Omega }{mathrm {d} Omega }}}

utilizzando l'espressione esplicita dell'angolo solido si ottiene l'espressione per la sezione d'urto differenziale:

dσdΩ=−bdbsin⁡θdθ{displaystyle {frac {mathrm {d} sigma }{mathrm {d} Omega }}=-{frac {bmathrm {d} b}{sin theta mathrm {d} theta }}}

Probabilità di transizione |

Un propagatore è una funzione matematica che consente di seguire l'evoluzione temporale di una particella che si muove all'interno di un campo. Per poter studiare processi di interazione tra particelle si fa, così, ricorso ad un particolare operatore, detto propagatore di Feynman, che consente di descrivere la cosiddetta ampiezza di transizione:

wfi=|Sfi|2T{displaystyle w_{fi}={frac {left|S_{fi}right|^{2}}{T}}}

dove S_fi è la matrice di Feynman (anche detta matrice S).

Con questa rapidità di transizione - che altro non è se non il rapporto tra la probabilità di transizione, ovvero il rapporto tra eventi favorevoli ed eventi possibili, e il tempo tipico della stessa, ovvero quanto tempo questa persiste - si può dare una nuova definizione di sezione d'urto:

dσ=wfi‖J→inc‖dnf{displaystyle mathrm {d} sigma ={frac {w_{fi}}{left|{vec {J}}_{inc}right|}}mathrm {d} n_{f}}

dove J_inc è il flusso incidente e dn_f il numero di stati finali nel cono dΩ.

Flusso incidente |

Il flusso incidente altro non è se non la densità delle particelle che si scontrano. Si possono definire due flussi differenti, a seconda del sistema di riferimento in cui si calcola tale flusso.

Nel sistema del laboratorio, ovvero il sistema in cui il bersaglio è fermo e i proiettili in moto, il flusso risulta:

‖J→inc‖=jpρt{displaystyle left|{vec {J}}_{inc}right|=j_{p}rho _{t}}

dove j_p è la densità di flusso delle particelle proiettile e ρ_t la densità delle particelle bersaglio.

Vediamo un esempio: supponiamo che due particelle si scontrino una contro l'altra. Definita con v_r la velocità relativa tra le particelle e con V il volume a disposizione delle stesse, la prima densità sarà pari al rapporto tra il modulo della velocità e il volume stesso, il cui inverso è anche pari alla densità del bersaglio. Di conseguenza:

‖J→inc‖=‖v→r‖V2{displaystyle left|{vec {J}}_{inc}right|={frac {left|{vec {v}}_{r}right|}{V^{2}}}}

Questa espressione diventa anche il flusso incidente nel sistema del centro di massa o baricentro, ovvero il sistema in cui sia i proiettili sia il bersaglio sono in movimento, quando al posto della velocità relativa si inserisce la velocità calcolata in questo secondo sistema:

‖v→r(CM)‖=(‖P→a‖Ea+‖P→b‖Eb){displaystyle left|{vec {v}}_{r(CM)}right|=left({frac {left|{vec {P}}_{a}right|}{E_{a}}}+{frac {left|{vec {P}}_{b}right|}{E_{b}}}right)}

dove con P viene indicato l'impulso, e con E l'energia, mentre i pedici a e b consentono di distinguere tra i due fasci, che generalmente sono composti da particelle differenti.

Bibliografia |

• J.D.Bjorken, S.D.Drell, Relativistic Quantum Mechanics, 1964


• P.Roman, Introduction to Quantum Theory, 1969


• W.Greiner, J.Reinhardt, Quantum Electrodinamics, 1994


• R.G. Newton. Scattering Theory of Waves and Particles. McGraw Hill, 1966.

Voci correlate |

• Sezione d'urto di assorbimento