Lemma von Schwarz-Pick
Das Lemma von Schwarz-Pick (nach Hermann Schwarz und Georg Alexander Pick) ist eine Aussage aus der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen des Einheitkreises, die das Schwarzsche Lemma verallgemeinert.
Im Rahmen der hyperbolischen Geometrie bedeutet es, dass holomorphe Endomorphismen Kontraktionen sind.
Inhaltsverzeichnis
1 Aussage
2 Anwendungen
3 Literatur
4 Weblinks
Aussage |
Es bezeichne D:={z∈C:|z|<1}{displaystyle {mathbb {D} }:=left{zin mathbb {C} ,:,|z|<1right}}
- |f(z1)−f(z2)1−f(z1)¯f(z2)|≤|z1−z2||1−z1¯z2|{displaystyle left|{frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}right|leq {frac {left|z_{1}-z_{2}right|}{left|1-{overline {z_{1}}}z_{2}right|}}}
und für alle z∈D{displaystyle zin {mathbb {D} }}
- |f′(z)|1−|f(z)|2≤11−|z|2.{displaystyle {frac {left|f'(z)right|}{1-left|f(z)right|^{2}}}leq {frac {1}{1-left|zright|^{2}}}.}
Die zweite Aussage folgt aus der ersten, indem man durch |z1−z2|{displaystyle |z_{1}-z_{2}|}
Anwendungen |
In der hyperbolischen Geometrie ist
- d(z1,z2)=2⋅tanh−1(|z1−z2||1−z1¯z2|){displaystyle d(z_{1},z_{2})=2cdot tanh ^{-1}left({frac {left|z_{1}-z_{2}right|}{left|1-{overline {z_{1}}}z_{2}right|}}right)}
der hyperbolische Abstand.
Die erste Ungleichung des Lemmas von Schwarz-Pick sagt demnach aus, dass holomorphe Funktionen D→D{displaystyle {mathbb {D} }rightarrow {mathbb {D} }}
Ist f(0)=0{displaystyle f(0)=0}
so erhält man als Spezialfall die Aussage des Schwarzschen Lemmas.
Literatur |
- Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07247-4, (Vieweg-Studium 47: Aufbaukurs Mathematik).
Weblinks |
- Georg Pick Über eine Eigenschaft der konformen Abbildung kreisförmiger Bereiche, Mathematische Annalen, Bd.77, 1916, S. 1–6
- Osserman „From Schwarz-Pick to Ahlfors and beyond“, Notices American Mathematical Society, August 1999, als pdf-Datei hier [1] (PDF; 90 kB)
