線分
線分の幾何学的な定義
幾何学における線分（せんぶん、英: Line segment）とは2つの点に挟まれた直線の部分であり、それら端点の間にあるどの点も含む。
通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を閉線分、含まないものを開線分とすることもある。
線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。
目次
1 定義
2 性質
3 関連項目
4 参考文献
5 外部リンク
定義
V を R または C 上のベクトル空間とし、L を V の部分集合とする。L がある適当なベクトル u, v ∈ V を選べば
- L={u+tv∣t∈[0,1]}{displaystyle L={mathbf {u} +tmathbf {v} mid tin [0,1]}}
![{displaystyle L={mathbf {u} +tmathbf {v} mid tin [0,1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b51ec898964a04faa907aea6fb00df3228c5b0)
とパラメータ付けできるとき、L は線分（閉線分）であるという。あるいは同じことだが「線分は2点の凸包である」と定義してもよい。
この時、ベクトル u, u + v は L の端点 (end point) と呼ばれる。
線分が「開」か「閉」かの区別を要することもある。このとき、閉線分の定義は上述のもの、開線分 L は u, v ∈ V を選んで
- L={u+tv∣t∈(0,1)}{displaystyle L={mathbf {u} +tmathbf {v} mid tin (0,1)}}
とパラメータ付けできる。片方の端点のみ開いた半開線分は、閉じた方の端点を u ∈ V 、開いた方を u + v ∈ V として
- L={u+tv∣t∈[0,1)}{displaystyle L={mathbf {u} +tmathbf {v} mid tin [0,1)}}
となる。
性質
- 線分は連結で空ではない集合である。
V が位相線型空間の時、閉線分は V の閉集合である。しかし、開線分が V の開集合となるのは、V が一次元であるときであり、かつそのときに限る。- もっと一般に、線分の概念は 順序幾何学 の枠組みで定義することができる。
関連項目
- 区間 (数学)
- 直線
参考文献
- David Hilbert: The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4（邦訳『幾何学基礎論』 清水弘文堂書房、1969年。）
外部リンク
Line Segment at PlanetMath
Definition of line segment With interactive animation- Copying a line segment with compass and straightedge
Dividing a line segment into N equal parts with compass and straightedge Animated demonstration
この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Line segmentの本文を含む
