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Représentation des nombres irrationnels selon la répartition des réels en nombres rationnels, constructibles, algébriques et transcendants. Cliquez sur un des nombres du schéma pour plus d'informations concernant l'élément choisi. (Image source)v • d • m

Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers (souvent appelés fractions) sont souvent notés ab{displaystyle textstyle {frac {a}{b}}}, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). On appelle a le numérateur et b le dénominateur.

Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes, comme 1/2 = 2/4 = 3/6 = etc. Mais il existe une forme privilégiée, quand a et b n'ont pas de diviseur commun autre que 1 (ils sont premiers entre eux). Tout nombre rationnel non nul possède exactement une seule forme de ce type avec un dénominateur positif. On parle alors de fraction irréductible.

Le développement décimal d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale (par exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de zéros assure la périodicité). Cela est vrai dans n'importe quelle base. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel.

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. L'ensemble des nombres rationnels est un corps commutatif, noté Q ou ℚ (baptisé ainsi par Peano en 1895^[1] d'après l'initiale du mot italien quoziente, le quotient). De par sa définition :

Q={mn|(m,n)∈Z×(Z∖{0})}{displaystyle mathbb {Q} =left{left.{frac {m}{n}}right|(m,n)in mathbb {Z} times (mathbb {Z} setminus {0})right}}

où ℤ est l'anneau des entiers relatifs.

Développement décimal |

Comme tous les réels, les rationnels admettent une représentation en développement décimal illimité. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique. C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant continuellement. Cette séquence est appelée : « période du développement décimal illimité ».

Le développement décimal illimité d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une séquence périodique composée de ’9’. En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une période composée de ’0’, et mieux encore, un développement décimal limité équivalent.

Conventionnellement, lorsque nous écrivons un nombre avec les chiffres arabes dans le système décimal nous traçons, s'il y a lieu, une barre horizontale au-dessous de la séquence périodique. Il est aussi possible de mettre un point au-dessus de chaque chiffre de la période, mais cette notation est beaucoup moins utilisée.

Lorsqu'une période est indiquée nous devons faire référence à un nombre rationnel et c'est pour cette raison que d'une manière rigoureuse :

1=1,0_...=0,9_...=0,99999...{displaystyle 1=1{,}{underline {0}}...=0{,}{underline {9}}...=0{,}99999...}

13=0,3_...=limx→+∞(∑n=1x310n).{displaystyle {frac {1}{3}}=0{,}{underline {3}}...=lim _{xrightarrow +infty }left(sum _{n=1}^{x}{frac {3}{10^{n}}}right).}

Le développement décimal illimité d'un nombre rationnel est périodique et, réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ce critère est néanmoins mal commode pour évaluer la rationalité d'un nombre. Un deuxième critère est donnée par la fraction continue. Un nombre est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est fini. Cette méthode est à l'origine des premières démonstrations de l'irrationalité de la base e du logarithme népérien et de π.

Ainsi, le nombre 0,12122122212222...{displaystyle 0{,}12,122,1222,12222...,} (où l'on a des séquences de ’2’ de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période.

Arithmétique des rationnels |

Soient a, b, c, d quatre entiers, avec b et d non nuls.

Les deux nombres rationnels représentés par a/b et c/d sont égaux si et seulement si ad = bc.

L'addition est donnée par :

ab+cd=ad+bcbd.{displaystyle {frac {a}{b}}+{frac {c}{d}}={frac {ad+bc}{bd}}.}

On démontre que cette égalité ne dépend pas du choix des représentants "a/b" et "c/d".

La multiplication par :

ab×cd=acbd.{displaystyle {frac {a}{b}}times {frac {c}{d}}={frac {ac}{bd}}.}

L'opposé et l'inverse par :

−(ab)=−ab=a−bet(ab)−1=ba si a≠0.{displaystyle -left({frac {a}{b}}right)={frac {-a}{b}}={frac {a}{-b}}quad {mbox{et}}quad left({frac {a}{b}}right)^{-1}={frac {b}{a}}{mbox{ si }}aneq 0.}

On en déduit que le quotient est donné par :

(ab)/(cd)=adbc.{displaystyle left({frac {a}{b}}right)/left({frac {c}{d}}right)={frac {ad}{bc}}.}

Fraction égyptienne |

Tout nombre rationnel positif peut s'exprimer comme somme d'inverses d'entiers naturels distincts. Par exemple, on a :

57=12+16+121.{displaystyle {frac {5}{7}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{6}}+{frac {1}{21}}.}

Construction formelle |

Construction des nombres rationnels sur un tableau

On peut voir un nombre rationnel comme la classe d'équivalence d'une paire ordonnée d'entiers, par la relation d'équivalence suivante :

∀(a,b)∈Z×(Z∖{0})∀(c,d)∈Z×(Z∖{0})(a,b)R(c,d)⟺ad=bc.{displaystyle forall left(a,bright)in mathbb {Z} times (mathbb {Z} setminus left{0right})quad forall left(c,dright)in mathbb {Z} times (mathbb {Z} setminus left{0right})quad (a,b),{mathcal {R}},(c,d)Longleftrightarrow ad=bc.}

On note alors Q=(Z×(Z∖{0}))/R{displaystyle mathbb {Q} ={big (}mathbb {Z} times (mathbb {Z} setminus left{0right}){big )}/{mathcal {R}}}, c'est-à-dire que l'ensemble des nombres rationnels est le quotient de Z×(Z∖{0}){displaystyle mathbb {Z} times (mathbb {Z} setminus left{0right})} par la relation d'équivalence.

On peut ensuite injecter les entiers dans les rationnels, et définir des lois de composition interne pour se donner une structure de corps.

Cette construction est valable à partir de n'importe quel anneau intègre, on parle alors de corps des fractions.

Propriétés |

La dénombrabilité des rationnels strictement positifs

• L'ensemble ℚ, muni des lois d'addition et de multiplication données plus haut, forme un corps commutatif, le corps des fractions des entiers ℤ.


• Les rationnels sont le plus petit corps de caractéristique nulle. Tout autre corps de caractéristique nulle contient une copie de ℚ.


• La clôture algébrique de ℚ, c'est-à-dire le corps des racines des polynômes à coefficients rationnels est l'ensemble des nombres algébriques.


• ℚ est dense dans ℝ par construction même de ℝ. Plus « concrètement », pour tout réel x{displaystyle x}, la suite u{displaystyle u} définie par∀n∈Nun=E(10n×x)10n{displaystyle forall nin mathbb {N} qquad u_{n}={frac {E(10^{n}times x)}{10^{n}}}}(où E{displaystyle E} est la fonction partie entière) est à valeurs rationnelles (et même décimales) et tend vers x{displaystyle x}, puisque0≤x−un<10−n.{displaystyle 0leq x-u_{n}<10^{-n}.}
  


• Du point de vue de l'approximation diophantienne, les rationnels sont les réels les moins bien approximables : pour plus de détails, voir « Mesure d'irrationalité ».


• L'ensemble des rationnels est dénombrable. Or par l'argument de la diagonale de Cantor, nous savons que le corps des nombres réels ne l'est pas. On dit alors que les nombres réels sont presque tous irrationnels, au sens de la mesure de Lebesgue. On dit que ℚ est un ensemble négligeable. La fonction f suivante, bijective de ℕ dans ℚ⁺, donne tous les nombres rationnels positifs ou nuls, avec le numérateur et le dénominateur toujours premiers entre eux par construction. Elle est inspirée des suites de Farey ou de la suite diatomique de Stern :{f(0)=0f(2n)=1f(n)+1f(2n+1)=f(n)+1.{displaystyle {begin{cases}f(0)=0\f(2n)={frac {1}{f(n)+1}}\f(2n+1)=f(n)+1.end{cases}}}Elle s'inverse par la fonction g suivante :{g(0)=0g(pq)={2g(q−pp),si q>p2g(p−qq)+1,si q≤p.{displaystyle {begin{cases}g(0)=0\gleft({dfrac {p}{q}}right)={begin{cases}2g({frac {q-p}{p}}),&{text{si }}q>p\2g({frac {p-q}{q}})+1,&{text{si }}qleq p.end{cases}}end{cases}}}
  

Topologie |

Muni de la topologie de l'ordre usuel, ℚ est un corps topologique. Cela signifie que les opérations arithmétiques sont continues. L'addition est de plus compatible avec l'ordre (on parle de groupe ordonné).

Limitations |

Par contre, ℚ ne possède pas la propriété de la borne supérieure : l'ensemble des nombres rationnels x tels que x² < 2 est majoré mais ne possède pas de plus petit majorant.

D'autre part, ℚ n'est pas un espace complet : il existe des suites de Cauchy de nombres rationnels qui ne convergent pas vers un nombre rationnel, comme la suite (x_n) définie par récurrence suivant la méthode de Héron :

• 
  x₀ = 1


• pour tout n entier naturel non nul : x_n+1 = x_n/2 + 1/x_n.

Ces deux limitations montrent notamment que des nombres essentiels en mathématiques, comme √2 ou π, ne sont pas rationnels. Cela conduit à compléter ℚ en construisant un ensemble plus grand, qui possède la propriété de la borne supérieure et dans lequel toute suite de Cauchy converge : l'ensemble des nombres réels.

Nombre p-adique |

On peut munir ℚ d'une autre métrique.

Soit p{displaystyle p} un nombre premier. On pose :

• pour tout entier non nul a{displaystyle a}, |a|p=p−n,{displaystyle |a|_{p}=p^{-n},} où pn{displaystyle p^{n}} est la plus grande puissance de p{displaystyle p} divisant a{displaystyle a},


• 
  |0|p=0{displaystyle |0|_{p}=0}.

La fonction ainsi définie est complètement multiplicative, ce qui permet de poser sans ambiguïté, pour tout nombre rationnel a/b{displaystyle a/b} :

• 
  |ab|p=|a|p|b|p{displaystyle left|{frac {a}{b}}right|_{p}={frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}.

Alors dp(x,y)=|x−y|p{displaystyle d_{p}left(x,yright)=|x-y|_{p}} définit un espace métrique.

L'espace métrique (Q,dp){displaystyle left(mathbb {Q} ,d_{p}right)} n'est pas complet, et sa complétion est le corps ℚ_p des nombres p-adiques. Le théorème d'Ostrowski montre que toute valeur absolue non triviale sur ℚ est topologiquement équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à une valeur absolue p-adique.

Référence |

Voir aussi |

Arbre de Stern-Brocot

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	.mw-parser-output .sep-liste{font-weight:bold} Entier naturel (N{displaystyle scriptstyle mathbb {N} }) · Entier relatif (Z{displaystyle scriptstyle mathbb {Z} }) · Nombre décimal (D{displaystyle scriptstyle mathbb {D} }) · Nombre rationnel (Q{displaystyle scriptstyle mathbb {Q} }) · Nombre réel (R{displaystyle scriptstyle mathbb {R} }) · Nombre complexe (C{displaystyle scriptstyle mathbb {C} })
Extensions	Quaternion (H{displaystyle scriptstyle mathbb {H} }) · Octonion (O{displaystyle scriptstyle mathbb {O} }) · Sédénion (S{displaystyle scriptstyle mathbb {S} }) · Nombre complexe déployé · Tessarine · Nombre bicomplexe (C2{displaystyle scriptstyle mathbb {C} _{2}}) · Nombre multicomplexe (Cn{displaystyle scriptstyle mathbb {C} _{n}} · MCn{displaystyle scriptstyle {mathcal {M}}mathbb {C} _{n}}) · Biquaternion · Coquaternion · Quaternion hyperbolique · Octonion déployé · Nombre hypercomplexe · Nombre p-adique (Qp{displaystyle scriptstyle mathbb {Q} _{p}}) · Nombre hyperréel · Nombre superréel · Nombre dual · Droite réelle achevée · Nombre cardinal · Nombre ordinal · Nombre surréel · Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité · Nombre premier · Nombre composé · Nombre figuré · Nombre parfait · Nombre positif · Nombre négatif · Fraction dyadique · Nombre irrationnel · Nombre algébrique · Nombre transcendant · Nombre imaginaire pur · Nombre de Liouville · Période · Nombre normal · Nombre univers · Nombre constructible · Nombre réel calculable · Nombre transfini · Infiniment petit
Exemples	Pi (π) · Racine carrée de deux (2{displaystyle scriptstyle {sqrt {2}}}) · Nombre d’or (φ) · Zéro (0) · Unité imaginaire (i) · Constante de Neper (e) · Aleph-zéro (ℵ0) · Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre · Numération · Fraction · Opération · Calcul · Algèbre · Arithmétique · Suite d'entiers · Infini (∞) · Chiffre significatif

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