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Na matemática, uma operação binária ou 2-ária é uma operação com dois operandos. Uma operação binária é uma função com duas variáveis de entrada.

Definição |

Dados três conjuntos A, B e C, uma operação binária é uma função do produto cartesiano A×B em C.

f:A×B→C{displaystyle f:Atimes Brightarrow C}

Operações binárias diferem, normalmente, da escrita definida em função, f(a,b) = c. Os símbolos utilizados, em sua maioria, são de operador infixo, tomando o caso das operações de adição, multiplicação etc. Denota-se (a + b), não +(a,b).

Operações binárias são a base do estudo de estruturas algébricas, sendo parte de grupos, monóides, semi-grupos, anéis, corpos, domínios de integridade etc.

Exemplos de operações binárias são as operações da aritmética como adição, divisão e multiplicação (essas operações valem tanto para matemática quanto para programação); predicados lógicos como OR, XOR, AND.

Propriedades |

Muitas operações binárias de interesse são comutativas ou associativas. Muitas possuem também um elemento identidade (elemento neutro) e um elemento inversor. Algumas dessas propriedades nos permitem classificar as álgebras em grupos, semi grupos, grupos abelianos, etc.

Fechamento |

Seja # uma operação binária em um conjunto S. Dizemos que # é fechada em S se e somente se
∀ a,b ∈ S, (a # b) ∈ S.

Em geral, esta propriedade faz parte da definição de operação binária num conjunto.

Comutatividade |

Ver artigo principal: Comutatividade

A mesma operação # sobre S diz-se comutativa se

∀x∀y,(x#y)=(y#x){displaystyle forall xforall y,;(x;#;y)=(y;#;x)}

Ex. A adição sobre os naturais.

Identidade |

Ver artigo principal: Elemento neutro

Uma identidade para # sobre S é um elemento e em S para o qual

∀x,(x#e)=x∧ (e#x)=x{displaystyle forall x,;(x;#;e)=xland (e;#;x)=x}

Ex. 0 é uma identidade para a adição.

Da definição acima é possível afirmar que a identidade para uma operação binária é única. Sejam e, f identidades para #. Então e = e#f = f. Logo e = f. Portanto existe no máximo uma identidade para #.

Associatividade |

Ver artigo principal: Associatividade

A operação # sobre S diz-se associativa se e somente se

∀x,∀y,∀z,x#(y#z)=(x#y)#z{displaystyle forall x,forall y,forall z,;x;#;(y;#;z)=(x;#;y);#;z}

Distributividade |

Ver artigo principal: Distributividade

Uma operação binária $ é dita distributiva sobre # se

∀x∀y∀z,x$(y#z)=(x$y)#(x$z){displaystyle forall xforall yforall z,;x;$;(y;#;z)=(x;$;y);#;(x;$;z)}

e

∀x∀y∀z,(x#y)$z=(x$z)#(y$z){displaystyle forall xforall yforall z,;(x;#;y);$;z=(x;$;z);#;(y;$;z)}

Ex. A multiplicação é distributiva sobre a adição, mas a recíproca não é verdadeira.

Elemento inverso |

Seja e a identidade para # sobre S. O elemento x^-1 é um inverso de x com respeito a # sobre S sse

∀x(x#x−1)=e,(x−1#x)=e{displaystyle forall x;(x;#;x^{-1})=e,(x^{-1};#;x)=e}

Se y é um inverso de x com respeito a # então y é único (para cada x). Suponha que a, b são ambos inversos de x com respeito a # sobre S. Seja e a identidade para # sobre S. Então:

a = a # e;

  = a # (x # b);

  = (a # x) # b;

  = e # b;

  = b;

Logo a = b , e portanto existe no máximo um elemento inverso.

Referências |

• SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta - Uma Introdução. São Paulo: Thomson, 2003. ISBN 85-221-0291-0.

Ver também |

• 
  Grupoide (estrutura algébrica) - um conjunto S com uma operação binária ⋆:S×S→S{displaystyle star :Stimes Sto S}
  


• Operação unária


• Operação ternária